Техника - молодёжи 2002-03, страница 12

МАТЕМАТИ

К А

В 2001 г. исполнилось 400 лет со дня рождения великого французского математика Пьера Ферма. Даже людям, от математики очень далеким, он известен своей Великой теоремой, как бы мимоходом сформулированной им на полях книги около 1630 г. Доказательство же приведено не было... То, что обнародовали в 1995 г., математиков не устроило: для XVII в. оно невозможно. И исследователи не успокаиваются. Свидетельством тому — сегодняшняя подборка.

Владислав А Р^^Ч № Л

едемский, А !■( I liyi

математик РЧ ^^J IVI

СПРОСИТЬ У ФЕРМА?

Заметка, сделанная рукой Пьера Ферма на полях «Арифметики» Диофанта Александрийского, переведенной и изданной во Франции в 1621 г., породила одну из самых трудных головоломок в истории математики. Несмотря на 300 лет блистательных провалов, на предположения, что охота, возможно, идет за несуществующим доказательством, «проблема Ферма» по-прежнему привлекает математиков.

Задача Ферма в сегодняшних терминах формулируется следующим образом: уравнение X'+Y'-Z" не имеет целочисленных решений при п>2. Вопрос в том, чтобы доказать верность этого утверждения в общем случае, для всех п. «Книга рекордов Гиннесса» в 2000 г. признала теорему Ферма (ТФ) «самой живучей математической задачей».

Это при том, что в 1995 г. англичанин Эндрю Уайльс, профессор Принстон-ского университета (США)... доказал теорему Ферма. Однако вот как сам Уайльс, получивший за это две специально для того учрежденные премии — короля Фейсала (200 тыс. долл.) и Вольфскеля (50 тыс. долл.), оценивает свое достижение: «Ферма не мог располагать таким доказательством, это доказательство XX века».

Великий француз утверждал, что располагает доказательством любого из своих замечаний на полях «Арифметики» Диофанта, следовательно, для него все они были теоремами. И за прошедшие столетия все они были доказаны, лишь Великая теорема упорно сопротивлялась усилиям математиков. Но, может быть, удастся воспроизвести логику Ферма?

В этом нам поможет сам Ферма, ибо его комментарии на полях древнегреческой «Арифметики» не ограничиваются математическими формулами. Есть там такая, например, сентенция: «Может быть, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние не знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут по

сле меня для «передачи светильника сыновьям», как говорит великий канцлер Англии, следуя девизу которого я добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а наука обогатится».

ТФ для п=3 была сформулирована еще арабскими математиками аль-Худжанди и аль-Хусаином в X в., а столетие спустя Омар Хайям утверждал, что доказать ее невозможно. Допустим, Ферма считал, что не все древние математики знали о теореме Пифагора.

Как известно, она выглядит следующим образом: X²+Y²=Z²,

где X, Y и Z — соответственно, катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника, «пифагорова тройка». Подобные сочетания конкретных — естественно, целых — чисел были известны еще в древнем Вавилоне и Китае, а Пифагор доказал, что уравнение верно для треугольников любых размеров.

Но уже ему было известно, что из двух любых целых чисел тип можно получить «пифагорову тройку»: X=2mn, Y=m²-n², Z=m²+n².

Математик XVI в. Кардано показал, что это можно сделать и для одного числа с: Х=2с²+2с, Y=2c+1, Z=2c²+2c+1.

Более 50 лет назад автор этих строк вывел формулы, позволяющие преобразовать в «пифагорову тройку» ТРИ любых числа m, a, b (при условии, что а>Ь):

пусть N=(m²-(a-b)²)/2(a-b)b, тогда

Х=т,

Y=Nb,

Z=a+(N-1)b.

Ферма, который, собственно, и создал аналитическую геометрию, безусловно, хорошо пользовался и геометрическими объектами. Тройка чисел т, а и b соответствует некоему треугольнику, а X, Y и Z, напомню — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника. У этих фигур — общая сторона (т=Х), а число N — коэффициент, «исправляющий» две другие стороны исходного произвольного треугольника до катета и гипотенузы прямоугольного.

Внимание! N теоретически может быть любым, но при N=0 получим равенство m=a-b, если N=1, то т, а и b — «тройка Пифагора»: т^г+а²=Ь².

Теперь заменим в моих формулах т, а и b на Х^п, Yⁿ и Z" из ТФ. Тогда им будет соответствовать некоторое N и своя «пифагорова тройка». Так вот, в случае существования хоть одной тройки чисел X, Y и Z, такой, чтобы выполнялось Z"=X^r,+Y", теоремы Пифагора просто не существует (напомню, X, Y, Z и п — целые числа). А поскольку она имеет место быть, такая комбинация чисел невозможна, и теорема Ферма... доказана. Причем для наших построений не потребовался суперкомпьютер, и мы оставались в терминах и понятиях математики XVII в. □

Тимофей ГУРТОВОЙ, физик

ТЕОРЕМА ФЕРМА:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ЕГО СЛЕДСТВИЕ

Предлагаю полное, общее, доступное для понимания не только специалистами доказательство теоремы Ферма.

Сначала — ее ФОРМУЛИРОВКА на полях книги Диофанта «Арифметика».

Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем: Xⁿ+Y"*Z", при п>2 (1)

P.Fermat.

А теперь — ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В неравенство (1) вводим множитель К, превращая его в уравнение: Xⁿ+Y^ri=KZ", (2)

где К=10(2-п)е²(п-2). При п=2 К=1 и (2) превращается в теорему Пифагора. Когда же п>2 и стремится к бесконечности, X", Yⁿ и Z" тоже стремятся к бесконечности. При этом К стремится к 0, как показано на рисунке, следовательно, Zn увеличивается быстрее, чем Xⁿ+Y". То есть, при любой степени, большей квадрата, X"+Y"<Zⁿ, что означает справедливость (1).

СЛЕДСТВИЕ.

Математическое выражение теоремы Ферма с коэффициентом К, будучи уравнением, является общим выражением теоремы Пифагора как для

пространства Евклида, так и для неевклидова пространства, то есть описывает соотношение сторон и в сферическом прямоугольном треугольнике (если углом А сферического треугольника ABC считать угол между хордами дуг АВ и АС). ■

ТЕХНИКА-МОЛОДЕЖИ 3 ' 2 0 0 2

10