Техника - молодёжи 1999-12, страница 18
л и Владимир ТВОРОГОВ, кандидат физико- матемаических наук Таблицу умножения видели и зубрили многие миллиарды человек. Сочетания цифр сомножителей и результатов тогда казались случайными и хаотичными. Самое интересное и красивое в таблице умножения скрывалось за туманом скучных воспоминаний о механической зубрежке. «Пятью пять — двадцать пять, это надо знать. Семью семь сорок девять — не забудь проверить»... Всякое изобретение основывается на свойствах и зависимостях. Для чисел в таблице умножения (далее ТУ) зависимости, которые я сформулировал, обрели вид симметрий, которых оказалось несколько. Не будет преувеличением сказать, что открытие симметрий в ТУ — самое неожиданное математическое открытие XX века. По существу, возникает новый раздел математики — теория таблицы умножения. Здесь ТУ рассматривается с точки зрения молодой науки — математической синтагматики, изучающей знаковые системы и способы представления наших знаний. Известна лингвистическая синтагматика, которая исследует устойчивые сочетания знаков в языке и их смысл, выявляются закономерности. В теории ТУ умножение чисел рассматривается не только как значение, но и как способ записи десятков D и единиц Е: Mi ВПАЩЕНИЕ В ТАБЛИЦЕ УМНОЖЕНИЯ Mi
Ms Ms
м7 м7
А х В = [DE] = 10 х D + Е. Хороший пример приоритета знаков — известный признак деления на 3 «число делится на 3 только тогда, когда сумма его цифр делится на 3». 1де стоят в числе составляющие его цифры — все равно, лишь бы сумма делилась на 3. В предлагаемой теории ТУ объектом изучения являются не только числа. Симметрии позволили построить изумительную по своим свойствам фигуру, достойную собственного названия — девятилист-ник, по числу используемых «листов умножения». Наша система счисления, содержащая десять знаков цифр, оказалась удачной для двумерного представления результатов таблицы умножения. Чтобы увидеть симметрии в ТУ нужно: 1) взять 9 пустых матриц из трех строк и трех столбцов каждая; 2) записать в матрицу с номером А последовательно по строкам результаты умножения А х 1, А х 2...; 3) расположить листы умножения центрально-симметрично вокруг листа умножения на 5 Центром мира чисел оказывается ячейка с числом 5 х 5 = 25. Девятилистник можно рассматривать как конечное топологическое пространство, состоящее из 45 точек — результатов умножения. Это тоже результат синтагматического подхода: в девятилист-нике 9 х 3 х 3 = 81 ячейка, но поскольку операция умножения коммутативна (т.е. А х В = =В х А), то РАЗЛИЧАЮЩИХСЯ точек-результатов только 45. Результат же читается так: первый сомножитель — в
левом верхнем углу (ЯВУ), второй сомножитель — номер ячейки в матрице, считаемый последовательно по строкам. Результат умножения — значение в ячейке. В полученной фигуре масса локальных и глобальных симметрий. Первая — на каждом листе умножения. Для противоположных от центра ячеек сумма единиц пары результатов умножения равна 10. Сумма противоположных десятков на листе с номером А равна (А-1). Такие пары ячеек на одном листе называются локально-симметричными или дополнительными. Три числа А, В и С, лежащие в ячейках на одной прямой, образуют систему (В - А) = (С - В), которую я назвал качелями дополнения (Без шуток, как договорились.) Одно число больше центрального, другое на столько же меньше. Два числа будто качаются на равносторонних качелях. Чтобы записывать часто встречающееся дополнительное число, пришлось ввести новое арифметическое действие — дополнение, которое я обозначаю звездочкой. Дополнение А* = 10 - А, например 1* = 9, 2* = 8, 5* = 5. Дополнение обязательно должно войти в школьную программу как основная операция арифметики. С ним, например, легче складывать числа больше десяти. Новое правило такое: «Сложение в следующем десятке равно вычитанию дополнения». А + В = 10 + А- В*. С цифрами это выглядит так: 8 + 7 = 10 + 8 -7* = 10 + (8-3)= 15. Вычитание с использованием дополнения также легче: «Вычитание в предыдущем десятке равно сложению с дополнением». Представление таблицы умножения в форме девя-тилистника с границами десятков. Ко ____I I 4 \ «Ч 4 \ \ 6 V —п .24 4 I в\! 1 «Область чудес» на четных листах умножения, вход в которую добавляет границу десятков. Граница, пропавшая из-за поворотов «области чудес». Планетарное вращение матриц еди- / ниц для резуль- ( татов умножения \ в девятилистнике. \ ТЕХНИКА-МОЛОДЕЖИ 12 '9 9 16 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
