Техника - молодёжи 1999-12, страница 20

в начало нижнего ряда. Здесь не столь ясно видны повороты матрицы единиц, но зато единицы верхнего ряда повторяются в единицах результата нижнего ряда, что очень привлекательно. Разность десятков между верхним и нижним числом (скажем, 6 х 2 и 6 х 7) находится в центре.

А как поступить с изображением цифры, которая при повороте плоскости сама поворачивается и трудно читаема, цифры 6 и 9 вообще совпадают при перевороте? Одна из возможностей — использование только четверти каждой ячейки В прорези на лицевой стороне будет видна только четверть ячейки с правильно повернутым числом — результатом.

Описываемая вращающаяся таблица умножения состоит из двух неподвижных плоскостей с прорезанными окошками и одной вращающейся плоскостью, находящейся между неподвижными. Подвижную плоскость лучше сделать в форме круга. Через прорези в неподвижных шаблонах видны цифры результатов умножения на подвижной плоскости. Ось вращения подвижной плоскости проходит через центр таблиц, проекции которых совпадают на разных плоскостях.

На такой вращающейся таблице умножения хорошо видны симметрии дополнения результатов и симметрии поворотов единиц.

Поверните вращающееся колесо таблицы умножения так, чтобы в левом верхнем углу оказался первый сомножитель. Для нечетных чисел используйте сторону ВТУ с телефонным Т-табло на нечетных листах умножения, для четного первого сомножителя — другую сторону с D-табло.

Для умножения 5x3 пятерку переставьте в конец 3x5. Обратите внимание — в центре ВТУ оказывается число 5 х 5 = 25, и это единственный результат, который нельзя получить с помощью вращающейся ТУ, так как листа умножения на 5 в ней нет. «Пятью пять» — исключение опять.

Для изучения глобальных симметрий нужны, по крайней мере, два синхронно вращающихся колесика с симметричными листами умножения, но изготовить их самостоятельно трудно — нужны шестерни для согласования вращений. Глобальные симметрии А х В и А* х В* придется изучать на статическом изображении девятилистника.

ВТУ должна научить видеть, а не произносить, подчеркиваю — именно видеть в уме единицы результатов умножения на Т-табло. Но, конечно, нужна хорошая тренировка. Найдем, например, значение единиц 3x7. Семь находится на Т-табло в левом нижнем углу. Там будет ответ. Мысленно поверните табло так, чтобы 3 попала в ЯВУ (или наклоните голову к правому плечу для получения того же эффекта). Теперь все остальное на Т-табло — это таблица умножения на 3. Читайте ответ в левом нижнем углу — это 1. Так и есть, 3x7 = 21.

Для умножения на 9 не надо переворачивать голову вверх ногами, даже в уме. Достаточно посмотреть на дополнительное для второго сомножителя число —

через центр Т-табло. Пример 9x2. Найдите 2 на телефоне. Дополнение 2* = 8 — это единицы ответа 9x2 = 18.

Для четных сомножителей Т-табло придется читать по-другому. Обратите внимание на то, что четные числа расположены по серединам сторон квадрата. Назовем фигуру из четных чисел четным крестом. Сверху у четного креста число — первый сомножитель, в начальном положении — число 2. Во втором ряду числа 4 = 2х2и6 = 2хЗ — это результаты умножения на 2 и 3. Внизу число 8 — ее место на четном кресте имеет номер 4, одновременно это и ответ 2x4 = 8.

Если нужно умножить на другое четное число, например 6, наклоните голову направо так, чтобы относительно лба 6 на четном кресте оказалась сверху:

6

2 8 4

Вот и ответы умножения на 6: 6 х 1 = 6, 6x2=12,6x3=18,6x4 = 24.

Десятки увеличиваются каждый раз, когда между последовательными единицами результатов происходит инверсия порядка: 6 > 2 — появился один десяток, 2 / 8 — десятка не прибавилось, 8 > 4 — опять инверсия, следовательно, добавился еще один десяток.

Умножение четных чисел на 5 всегда дает в единицах нуль: 6 х 5 = 30. Потом единицы результатов повторяются: 6x6= =36 (сравните 6 х 1 = 6), 6 х 7 = 42 (6 х 2 = =12)...

Десятки результатов умножения — это тема, включающая в теорию понятия топологии: границы областей десятков, пути и индексы путей, определяемых пересечением границ. Тут появляются новые понятия, одно из них — «область чудес» Рисунок девятилистника с границами

Шаблоны для вращающейся таблицы умножения.

Шаблоны для вращающейся таблицы умножения.

десятков мы приведем. Но беседу перенесем на следующий раз.

Главный математический результат — симметрий в ТУ так много, что даже некоторая их часть однозначно определяет все результаты умножения. То есть симметрии дополнений и симметрии поворотов единиц в девятилистнике однозначно определяют всю таблицу умножения.

В ТУ обнаружилась добрая сотня новых связей. Связи цифр — это знания с проверкой результатов, точностью и безошибочностью. Разложить знания в простые методики — благородная задача. Я, например, пока не придумал термин «качели дополнения», не мог как следует объяснять новые зависимости малышам.

Методики — дело серьезное. На Земле этим летом число жителей достигло 6 миллиардов человек. Каждому ребенку вращающаяся ТУ экономит более месяца учебы. Делим 6 миллиардов месяцев на 12 месяцев, потом на 50 лет. Ответ — экономия времени всем составляет 10 миллионов человеческих жизней!

Любопытно, что умножать по новой методике можно, даже не зная, что такое умножение. Симметрии позволяют забыть, что «АхВ это А раз взятое число В»! Вспомогательные устройства тоже при нас, знаете «компьютер для чукчей» при умножении на 9? Положите перед собой руки, чтобы видеть пальцы. Загните палец, равный второму сомножителю. Количество пальцев слева от загнутого будет равно числу десятков, а число пальцев справа — числу единиц результата умножения на 9.

Во все методики арифметики нужно вносить коррективы. Учить умножению «как лучше» — на симметриях локальных, глобальных, на дополнениях и с использованием симметрий планетарного вращения единиц, а не «как всегда». Экономия своих педагогичеких усилий и времени гарантирована, все-таки тяжелый труд — натаскивать малолеток зубрежкой, которая вызывает аллергию.

Для думающей молодежи море возможностей проявить себя — от методик обучения основам арифметики в детском саду и в школе с проверкой на младших братьях и сестрах, до создания сценариев и своих обучающих компьютерных программ. О Ваших талантах узнает весь свет. Жду писем по электронным адресам VladTvor@mail.ru и AskVladTvor@mail.ru (а подробности об образовательном проекте «Умножение на телефоне» можно узнать по адресу http://milt.netfirms.com).

Наши принципы: научить каждого в мире. Не потому, что мы так хотим, а потому, что это на порядок лучше. Покажем, что здесь Россия — впереди.

Зубрежку из школы — долой! Учебники по основам арифметики переписать. Все.

С сегодняшнего дня человек, не знающий о существовании симметрий в ТУ — это ХХ-вековик, все равно, что человек, не знающий о шарообразности Земли.

В XXI век пойдем не только с новыми компьютерами, но и с новым интеллектуальным багажом и уровнем знаний, который ни один компьютер не заменит. ■