Техника - молодёжи 1999-12, страница 19

10 15

20 25

10 15

20 25

30

35 40 45

35 40 45

10 + А- В = А+ В*.

15-9 = (10 +5)-9 = 5+ 9*= = 5 + 1=6.

Нас учили «сравнению с десятком», в котором больше действий, оно мне и сейчас мешает при счете своей неоптимальностью:

8+ 7 = 8+ (10-8)+ 7-(10-- 8) = (8+2) + (7-2) = 10 + 5 = =15.

Учить дополнения для конкретных цифр не надо — это противоположные цифры на телефонном табло.

А число 5 на четных листах умножения преподносит сюрпризы. При умножении, например на 2, в центре листа стоит 2x5=10. Для нуля качели дополнения нарушаются — в центре качелей должна была бы стоять 5, а стоит 0. Приходится ввести дельта-функцию f(E)=1, если Е=0, и f(E)=0 в других случаях. Эта функция очень нужна в математическом анализе

Можно формулировать теорему, которая войдет во все учебники.

Если обозначить результаты умножения А х В = [D1Е1 ] и умножение на дополнение А х В* = [D2E2], тогда

Е1 +Е2= 10 х (1 -((Е1)),

D1 + D2 = А - 1 +((Е1).

Короче, умножение на дополнение дает дополнительный результат.

Если единицы Е1 = 0, то и Е2 = 0, а десятки дают D1 + D2 = А.

Интересный закон Природы — качели дополнения нарушаются на круглых десятках.

Теперь взгляните на первый лист умножения. Узнаете? Это же цифровое телефонное табло, обозначим его буквой Т. Т-табло представляет собой матрицу единиц результатов умножения, пока на 1.

Как ведут себя единицы на других листах девятилистника? Взгляните на схему, в таблице умножения на 3 матрица единиц результатов является повернутым Т-табло. Число 3 в левом верхнем углу (ЯВУ). Поверните телефонное табло другим боком (ЯВУ — 7), получилась часть таблицы умножения на 7. Двойной поворот телефона равен перевороту (ЯВУ — 9). Очень приятное совпадение — мы получили все единицы таблицы умножения на 9!

Так возникает симметрия поворотов матриц единиц.

С четными листами несколько иначе, лист умножения на 2 я назвал D-табло. Оно получается удвоением каждой цифры телефонного Т-табло и демонстрирует ученость не хуже его Лист умножения на 4 (ЯВУ — 4) в своих единицах является поворотом D-табло на 90 град, по часовой стрелке. Для листа 6 (ЯВУ — 6) матрица D повернется в противоположную сторону на тот же угол, а двойной поворот D (ЯВУ — 8) как по волшебству откроет зрелище единиц листа умножения на 8.

5 Техника молодежи N° 12

Если на картинке изобразить движение матриц единиц, мы получим солнечную систему в миниатюре. Т-табло совершает облет вокруг центра мира чисел «пятью пять», находящегося в центре «солнечной системы». Поворот вокруг центра 5 х 5 на 90 град., скажем, от листа х1 к листу хЗ, связан с одновременным поворотом матрицы Т вокруг своего центра в противоположную сторону на такой же угол! Полный оборот — год — дает поворот «планеты Т» тоже на один оборот, но в противоположную сторону. На новой «планете» за один год проходит ровно двое суток. Поведение второй «планеты» — D-табло — аналогично первой.

Земля, как и большинство остальных планет, вращаются вокруг своей оси в ту же сторону, что и вокруг Солнца. А вот Уран имеет обратное вращение вокруг оси и ведет себя как и матрицы единиц в системе девятилистника.

Глобальная симметрия результатов — это пары чисел А х В и А* х В*. Симметричные результаты связывают любопытные правила.

Пусть Ах В = [D1Е1 ] и А* х В* = [D2E2] -результаты умножения. При умножении дополнительных сомножителей единицы результатов равны

Е1 = Е2,

а сумма десятков результата и дополнения десятков симметричного результата равна сумме сомножителей

D1 + D2* = А + В.

Пример. 1x1 =01,9x9 = 81.Здесь А=1, В=1, D1=0, E1=1,D2=8, Е2=1.

Единицы результатов равны: 1 = 1.

Десятки дают: 8* = 10 —8 = 2, D1 + D2*= = 0 + 2=1+1.

Если известен один результат, то единицы второго симметричного результата равны единицам первого, а десятки определяются по сомножителям А и В и известному десятку D1:

D2 = А + В - D1*.

Девятилистник умножения для устного счета.

В событиях вокруг теории ТУ не меньше совпадений, чем в ней самой. Я математик, профессионально работающий с компьютерами. Вообще-то, ТУ для этого не нужна. Разве только алгоритм программы протестировать вручную.

Моему младшему сыну Алеше во втором классе пришлось штудировать умножение. Я, скрепя сердце, просиживал вечера и натаскивал его с этой зубрежкой «методом заклинаний». Для ума математика, связанного с зависимостями и логическим выводом, зубрежка невыносима. Тем более, что даже самые серьезные затраты усилий не гарантируют безусловно правильный результат: в конце года в классе на 30 ребят из 100 примеров все равно 1-2 ошибки!

В процессе штудирования мне удалось записать несколько новых для себя закономерностей в числах. Стало интересно. Как-то раз сказал Алеше: «Я придумал хорошие правила такие, что в умножении почти ничего не надо знать».

«Эх, — сказал Алеша.— Если бы совсем ничего не надо было знать, тогда было бы хорошее правило!».

Мне пришлось еще как следует подумать. Со школы переплетение цифр в умножении казалось абсолютно случайным. И здесь, как звезда в голове сверкнула,— мы имеем дело с двумерной структурой табло цифрового телефона! С симметри-ями поворотов единиц и дополнений — все встало на свои места.

Алеша стал первым жителем Земли, начавшим обучение ТУ со зрительного представления — чему теперь будут учить всех в XXI веке. Место в ТУ определяет результат!

Зрительная память в десятки раз быстрее и точнее моторно-слуховой, которая только и используется сейчас в учебе. И главное — учить результат действия нужно не изолированно, а в парах дополнительных результатов умножения!

А поможет этому предмет изобретения — вращающаяся таблица умножения (ВТУ).

Вариантов ВТУ может быть много. Для самостоятельного использования рекомендую изготовить модель из картона подходящей плотности. Размер — 15— 20 см. С одной стороны будут листы умножения на нечетные цифры, а с другой стороны — четные числа.

Для устного счета рациональнее перекомпоновать четные листы: ячейка с номером 4 из второго ряда перенесена в конец верхнего, а ячейка с номером 6 —