Юный техник 1961-02, страница 72

ные, в другом — нет. Нужно узнать, где какие. Оказывается, что достаточно взять по одному бруску из каждого ящика, чтобы дать ответ на поставленный вопрос.

Пусть теперь происходит некоторое событие (если ничего не происходит — это тоже событие), например, треугольник оказывается прямоугольным с катетами a, b и гипотенузой с. Тогда не вызывает сомнений теорема Пифагора: «Если треугольник прямоугольный, то а² + Ь² = с², причем с лежит против прямого угла» (если А, то В). В, очевидно, представляет необходимые условия выполнения А Возникает вопрос: а справедлива ли формула А? Если неверна, то существуют треугольники,

для которых а² + Ь² = с², но угол против стороны с не прямой. К счастью, формула В А верна. Попробуй доказать ее справедливость.

А вот еще одна небезынтересная теорема: если при про-

V * \ l+f(x)

пзвольном х имеет место равенство ff х — 1 = —-jj—

то функция f(x) периодическая с периодом 2к.

В самом деле:

1+ bh'w

<x+«)-f[(x₊f)+f ]= —

1 - f(x)

/ Зте\ f(x)+t

v ^TJ⁼ f(x)-i ^и'^{наконец}' ^f<^x +^^{= f(x)}

Итак, теорема AВ верна. Справедлива ли теорема В-* А? Нет. Для доказательства достаточно (еще одно применение достаточностей) привести пример функции, имеющей период 2 ~ для которой не соблюдается при произвольном х соотношение

V 2 J 1 — f(x)

Такой функцией может быть хотя бы sin х. Почему?

Если соблюдены условия и необходимости и достаточности, то формула запишется следующим образом: А^В. Эти условия могут оыть приняты за определение события Часто употребляют убедительные формулировки, вроде: «Тогда п только тогда, когда...», «В том и только в том случае, если...»

«Две окружности на плоскости тогда и только тогда расположены одна вне другой, когда расстояние между их центрами больше суммы радиусов».

И условия необходимости и условия достаточности для того, чтобы некоторое событие произошло, далеко не всегда просто отыскать.

Иногда приходится довольствоваться необходимыми условиями, то есть следствигми. Понятно, что чем больше мы будем знать следствий события, тем большей станет наша информация о нем. Обратно: если сузить данное достаточное условие, то оно ста нет ближе к определению события.

66