Юный техник 1965-04, страница 21

УЧЕБНИКА2

ЧТО ТАКОЕ

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

А. ХАБЕЛАШВИЛИ

Интересную теорему предложил 2300 лет назад древнегреческий геометр Евлокс Кнндский:

«Стороны пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, вписанные в одяу н ту же окружность, могут служить сторонами прямоугольного треугольника, в котором сторона пятиугольника есть гипотенуза» (рис. 1).

Впишите в окружность правильный пятиугольник и попробуйте найти на своем чертеже треугольник Евдокса.

С давних пор меньший катет его привлекает к себе внимание геометров. Чтобы получить его, нужно рассечь радиус данной окружности в точке, которая делит этот радиус, на две неравные части. Большая из них является средней геометрической между всем отрезком и меньшей его частью. Такое сечение впоследствии великий художник и инженер эпохи Возрождения Леопардо да Винчи стал называть «золотым». Это название и привилось в науке.

Обозначив большую часть отрезка а через в, будем иметь:

в

вз + ав — а² = 0 = у ( VT-l)= 0.618а;

в а — в в

откуда

я — в = а — 0,618а — 0,382а,

то есть части золотого сечения составляют приблизительно 62 и 38% отрезка.

Один из наиболее распространенных способов деления отрезка в золотом сечении заключается в следующем. Строим прямоугольный треугольник с отношением катетов 1 :2 (см. рис. 2). Из вершины А, как из центра, радиусом АС проведем дугу до пересечения ее с гипотенузой в точке D. Затем из вершины В, как

Рис. 2

Рис. 1

из центра, радиусом BD проведем дугу до пересечения с катетом ВС в точке Е. Последняя и будет искомой точкой золотого сечения отрезка ВС.

О золотом сечении знал еще Пифагор (580—500 гг. до н. э.). Он первым построил пентаграмму, а для этого требуется умение делить отрезок в золотом сечении. Пифагору золотое сечение обязано тем, что оно сразу получило большую популярность.

За основу всех вещей и явлений Пифагор принимал число, считая, что вселенная представляет собой гармоническую совокупность чисел и их отношений. Не случайно и его знаменитая теорема посвящена именно численной зависимости катетов и гипотенузы, или вспомним соотношение сторон пифагорова треугольника — 3:4:5.

Позже школа Пифагора дошла до обожествления чисел. Пифагорейцы провозгласили культ золотого сечения, объявив его чуть ли не исходным пунктом в мироздании...

Евдокс Книдский выводит некоторые свойства золотого сечения: