Юный техник 1967-01, страница 23

Умение видеть в пространстве — способность одинаково необходимая и математику и конструктору. И вам, ребята, надо ее в себе воспитывать уже сейчас. Первый шаг — решите вот эти задачи.

Л Может ли существовать четырехугольная пирамида, в которой все боков l.* грани — равнобедренные треугольники, а две противоположные перпендикулярны к основанию и между, собой? О В правильный тетраэдр вписан куб так, что на каждой грани его лежат ровно две вершины куба. Каково отношение их объемов?

В пространстве даны прямая и две точки А и В. Найдите на данной прямой такую точку С, когда длина ломаной линии АСВ будет минимальной. ^tjK

«В математике главные средства достигнуть истины — индукция и ана- А* логия» — говорил знаменитый французский астроном Лаплас. Методом индукции и решаются следующие ниже задачи. Заключается он вот в чем: утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если оно справедливо для п=1. И если оно справедливо для какого-либо произ- _в вольного натурального числа n=k, то справедливо и для n = k+l. Обобщите такое соотношение:

Н'^ВЧ

■■mi |

mm

2х² 4x4 8x8 х 16x16

~Т , , «~Г - . . , +

1-fx ' 14-Х2 ' 1+х4 ' 1+х8 1-Х 1—Х16

Докажите обобщение с помощью математической индукции.

Э При каких натуральных п справедливо неравенство: 2^п >«²? # На какое наибольшее число частей могут разбить пространство п сфер?

_п2(п4- 1)2

Докажите, что: I³ -f 2³ -f З³ -f ... -f n³ =-^—— •

В пространстве задано п шаров, каждые четыре из которых пересекаются. Докажите, что все они пересекаются и что существует точка, принадлежащая одинаково каждому шару.

А эти задачи решаются методом подобия или вращения фигуры вокруг точки.

ф Постройте треугольник по двум сторонам и отношению третьей стороны к опущенной на нее высоте.

ф Постройте равносторонний треугольник с вершиной в данной точке А Две другие его вершины лежат на двух данных прямых.

ф Даны окружность и две точки А и В. Проведите к окружности касательную так, чтобы расстояние от точки А до касательной было равно расстоянию от точки А до перпендикуляра, проведенного из точки В к касательной.

ф Исследуйте системы уравнений:

ax_t + х₂ + х₃ = 1 ах — by — с х₂ 4- х₃ -j- х₄ = 1

Xj + ах₂ -j- х₃ = 1 bz — сх = а х_г + ах₂ -f ах₃ = b

Xi + х₂ + ах₃ = 1 _Су — az = b xi + ах₂ -f ах₄ = ba

xj + ax₃ -f- ax₄ — bs

Определите, при каких значениях а, х, Ь, с, у, z существуют решения и каково их число для разных значений.

ЭКСПЕРИМЕНТ: ЗЕМЛЯ — СИЛЬНЫЙ МАГНИТ!

Зе>иной шар, вы знаете, окружен магнитным полем. По направлению его силовых линий мы и ориентируемся на местности с помощью магнитного компаса. А как, используя тот же простой прибор, определить величину магнитного поля Земли? Одного компаса, конечно, будет недостаточно. Надо придумать приспособление. Сделайте его и поставьте опыт.

18