Юный техник 1967-11, страница 47
Сто тысяч «как» и «почему» Цветными точками отмечены задания для десятиклассников 9 Найдите множество четвертых вершин прямоугольников, у которых две вершины лежат на данной окружности, если третья вершина лежит на окружности, концентрической с данной. 9 Дан квадрат со стороной 1. Найдите множество всех точек, сумма расстояний от которых до сторон квадрата или их продолжений равна 4. 9 Все точки отрезка АВ проектируются на всевозможные прямые, проходящие через данную точку 0. Найдите множество всех проекций. 9 Через деревню А, окруженную со всех сторон лугами, проходит одна прямолинейная дорога. Человек может идти по дороге со скоростью 5 км/час и по лугу со скоростью 3 км/час. Начертите множество точек, до которых он может добраться за час. 9 Докажите, что если все грани треугольной; пирамиды равновелики, то они равны. 9 Трехгранный угол пересекается плоскостью по треугольнику ABC. Найдите множество центров тяжести треугольников ABC, если вершины А и В закреплены. 9 Секущая площадь делит боковые ребра треугольной пирамиды в отношениях (считая от вершины): nit ma ms tii n« n3 В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды? 9 Даны прямой круговой конус и точка А. Найдите множество вершин конусов, равных данному, с осями, параллельными оси данного конуса, и содержащих внутри себя точку А. 9 На плоскости заданы окружность и точка А. Через окружность проводится произвольная сфера и строится коническая поверхность с вершиной в точке А, которая касается этой сферы по окружности с центром в точке М. Найдите геометрическое место точек М. Следующие четыре задачи помогут проверить ваши знания; о действительных числах. 9 Из числа 12345678910111213........585960 вычеркните 100 цифр так, чтобы полученное число стало наименьшим. 9 Предполагают, что среднее арифметическое первых п цифр числа ^ стремится к 4,5 при п неограниченно возрастающем. Докажите, что если это предположение верно, то этим свойством обладает и число 10 — тс. 9 Докажите, что число 0,101001000100001... иррационально. 9 Найдите общий вид чисел х таких, что число ~, записанное в виде десятичной дроби, изображается, начиная с первой значащей цифры, теми же цифрами и в том же порядке, что и X- 9 Канат длиной 1 наполовину свисает с горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения каната о поверхность стола равен к. При каком условии канат начнет соскальзывать со стола? Чему будет равна скорость каната в тот момент, когда его конец соскользнет? Трением о край стола пренебречь. 9 В ракету массой М, летящую со скоростью V, попадает осколок снаряда, который остается внутри ракеты (удар неупругий). Определить зависимость потерянной при ударе механической энергии от угла между скоростью ракеты ц скоростью осколка, если скорость последнего v , а масса —т. Постройте график этой зависимости. 9 С покоящимся шаром массы m сталкивается второй такой же шар. Под ^каким углом шары разлетятся в стороны, если после соударения ни один из них не останавливается? Движение шаров происходит в горизонтальной плоскости и удар упругий. ^ 9 На горизонтальной плоскости лежит невесомая пружина длиной 1 Ее концов касаются два груза. Грузам одновременно сообщают равные по величине скорости Ve, направленные навстречу друг другу. Определить минимальное расстояние, на которое сблизятся грузы Сжатая до этого минимального расстояния пружина может начать распрямляться. Определите условия, при которых: 1) сжатая пружина не будет распрямляться совсем; 2) распрямится частично; 3) распрямится полностью. Масса каждого груза равна m , коэффициент трения грузов о плоскость равен к. а жесткость пружины — с. Сто тысяч «как» и «почему» |
