Юный техник 1969-01, страница 41

МАТЕМАТИКА — В РУКАХ ФИЗИКА

Предлагаемые здесь задачи обычно разбираются в курсе высшей математики На первый взгляд они покажутся вам очень трудными. А если использовать законы физики?

Сначала построим эллипс. Возьмите чистый лист бумаги и приколите его к столу двумя булавками (см. рис. 1). Точки, в которых булавки пронзят бумагу, назовем Fi и Fs. Сделайте из нитки петлю, длина которой была бы чуть больше удвоенного расстояния F_tF₂. Накиньте петлю на булавки, вставьте в нее карандаш и, натягивая нитку, начертите на бумаге овальную фигуру — это и будет эллипс.

Само построение подсказывает нам определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от заданных точек F] и F₂ (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная.

Познакомившись с построением эллипса, вам будет легче справиться с другой задачей — построить касательную к эл лнпсу в любой заданной точке. (Подробно этот метод излагается в книге Л. А. Люстерника «Кратчайшие линии».) Заданная точка В соединяется с фокусами Fi и F₂, затем строится биссектриса угла F,BF₂. Оказывается, что она совпадает с перпендикуляром, восстановленным к касательной в точке касания (математики называют такую прямую нормалью). Если нормаль построена — касательную пристроить к ней не трудно.

«В самом деле, пусть упругая нить, имеющая форму ломаной F|BF₂, закреплена в точках Fi и F₂ (см. рис. 2). Если перемещать эту нить, двигая точку В по эллипсу, ее длина не меняется. А значит, работа сил натяжения все время равна нулю. Работа снл натяжения сводится к работе сил в точке В В этой точке приложены две равные силы натяжения по направлениям BF[ и BF₂. Их равнодействующая Р направлена по биссектрисе BD угла F^F^;. Так как при смещении точки В по эллипсу работа Р равна все время нулю, то Р направлено все время по нормали к эллипсу. Нормаль к эллипсу в любой его точке В совпадает, следовательно, с биссектрисой угла FiBF₂».

Если читателю хочется потренироваться в применении нового метода, можно предложить такую задачу: построить в любой заданной точке касательную и нормаль к другой замечательной кривой — параболе.

Постройте на листе бумаги систему координат и начертите в ней параболу, график функции у = ах² (см рис. 3). Чтобы решение поставленной задачи было найдено быстро и верно, познакомьтесь сначала с одним замечательным свойством параболы (и если сумеете, объясните его).

На оси ординат на расстоянии — от начала отметьте точ-

Z'A

ку F — ее называют фокусом параболы. Под осью абсцисс 1

на расстоянии — от нее проведите параллельную ей пря-2а

мую d — ее называют директрисой. Оказывается, любая точка В параболы равноудалена от фокуса и директрисы: ВС = BF.

Теперь приступайте к построению касательной и нормали к параболе в заданной точке В Не получается? Тогда сделайте небольшое дополнительное построение Проведите повыше над фокусом лннию d_t, параллельную оси абсцисс. Линию ВС продолжите до пересечения с этой прямой в точке С|. Сумма длин отрезков QB и ВС постоянна, а в силу равенства ВС = BF постоянна и сумма FB + BCi Теперь от-

Рис. 1.