Юный техник 1969-01, страница 42

вет найти легче Этот поиск не ведет к успеху? Тогда ^ прочтите строки, напечатанные ниже.

' Нормаль к параболе в точке В делит пополам угол FBC,. Доказательство вновь заимствуем из книги Л. А. Люстерни-ка- «Рассмотрим нить, имеющую форму ломаной FBC_b у ко торой конец F закреплен, конец С, скользит по прямой d_b так что BCi остается ей перпендикулярным, а точка В скользит по параболе. Длина этой нити., остается неизмен-X ной, значит, общая работа сил натяжения равна нулю. d Эта работа складывается из работ сил натяжения в точках Ci и В. Работа силы натяжения в точке С, равна нулю, так как направление этой силы (по отрезку CiB) перпендикулярно к прямой d|, по которой смещается точка Ci Значит, и работа сил натяжения в точке В равна нулю. Повторяя рассуждения, приведенные при исследовании случая эллипса, приходим к доказательству...»

Теперь мы сможем перейти к другой задаче: определить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы у = ах² и прямой, параллельной оси абсцисс, расположенной над нею на расстоянии al²

Снова воспользуемся физическими, точнее, механическими представлениями (рис. 4). Возьмем отрезок А|Аг длиною 21, подвесим его за середину О и на правое плечо получившегося рычага навесим параболу, сотканную из нитей, параллельных ее оси симметрии. На левое плечо повесим довольно замысловатую фигуру, построение которой следует объяснить в двух словах. Построим под левым плечом рычага параболу, точно такую же, которая висит на правом. Проведем прямую, каса ющуюся параболы в точке А, и пересекающую в точке М линию ОМ — перпендикуляр к отрезку ААг, восстановленный из его середины О (докажите, кстати, что длина отрезка ОМ равна 4а1²). Теперь повесим на левое плечо рычага фигуру, ограниченную дугой параболы АРО и ломаной АМО; предположим, что она также соткана из нитей параллельных ли ний ОМ. И тогда плечи окажутся в равновесии!

Чтобы понять причину этого равновесия, познакомимся еще с одним свойством параболы (доказать его весьма нетрудно). Проведем на нашем чертеже две вертикальные прямые: од ну слева от вертикали ОМ на расстоянии а от нее, другую — справа от вертикали ОМ на расстоянии (1 — а) от нее. Оказывается, справедливо соотношение: О В ■ ДЕ = ОС • CF.

Теперь все готово к доказательству Равенство, с которым мы только что познакомились, можно истолковать так: каждая нить ДЕ уравновешивает соответствующую ей нить CF — вот почему весы» будут в равновесии. Повесим теперь на оба плеча еще по параболе. Теперь треугольник AiOM урав 4 новешивает параболический лоскуток OQA2 из ткани удвоен-г,-¹ ной толщины. Поскольку площадь треугольника А|ОМ рав

на 4а1³, а центр его тяжести находится на расстоянии

о

от линии ОМ, то на левое плечо рычага будет действовать

момент величиною -^а'⁴. Центр тяжести параболы, очевид

3

но, расположен на ее оси симметрии и, значит, лежит на расстоянии от линии ОМ — следовательно, на правое пле-

1

чо рычага будет действовать момент 2S —, где S — искомая площадь параболы. Поскольку «весы» находятся в равновесии, оба момента равны. Из их равенства находим 4

площадь параболы: S =-—al³.