Юный техник 1969-02, страница 40

, «ЛУЧШЕ НАУЧИТЬСЯ

Семинар ведут В. Романно и Б. Федосов, доценты МФТИ

Сегодня мы познакомим вас с анализом решений некоторых задач, которые предлагались поступавшим в МФТИ на письменном экзамене по математике. Отметим, что мы старались выбрать такие задачи, на которых удоб-во демонстрировать наиболее типичные ошибки, допускаемые абитуриентами.

В полукруг радиуса R с центром в точке О вписан квадрат A BCD так, что точки А и D лежат на диаметре, а точки В и С — на окружности. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ОВС.

На рисунке МО X AD и 0| — центр искомой окружности. Обозначим искомый радиус через г и МС = OD = х.

Эту сравнительно простую задачу можно решить разными способами. Но вриведем только два из них, чтобы особо подчеркнуть два обстоятельства: твердое знавие и вравильный выбор формул геометрии и тригонометрии позволяют быстрейшим путем решить эту задачу — это первое; второе — ^ сведя решение задач к решению алгебраического или тригонометрического \/ > уравнения, нельзя забывать, что эта задача геометрическая. / ⁰ \ Итак, первый способ решения. По теореме Пифагора из Л COD находим:

| I М/ М R. = 5X. X-JL.

А О D YJ-

Воспользовавшись для л ВОС формулой S = гр, где — S площадь треугольника, г — радиус вписанной окружности и р — полувериметр, имеем:

г = — = ^2х' р R + x

Подставив сюда выражение для х, получаем ответ:

R (5 - У 5) 10

Другой способ. Из ACOD находим, что ^{х =}

Положим, ZBCO=a.

Из ДМО,С Найдем

,_х tg~= —tg-. ² VT ²

tg—• Из д МОС tg« = 2-

видно, что о < а <—. Поэтому имеем:

Из геометрических соображевий оче-

2tg-

-----². что дает tg- ~ ¹ ■

1 - tg" —

2

Так как ⁰<^а<—,то, отбрасывая знак минус и подставляя найденное зна-

чевие ⁴К ~ в формулу для г, получаем ответ.

При решении этой задачи некоторые абитуриенты либо шли окольным путем, либо, решая вторым способом, не обосновывали, почему можно перейти

от к ~ и почему нужно отбросить знак минус.

D Другая задача. В правильной шестиугольной пирамиде вписанная сфера проходит через центр описанной. Во сколько раз радиус описанной сферы больше радиуса вписанной? (Найти все решения.)

Пусть SABCDEF — заданная, пирамида и пусть SO —ее высота, R — радиус овнеанной сферы, г — радиус вписанной сферы (см. рис.). Прежде всего нужно представить себе пространственную картину. Так как пирамида

38