Юный техник 1969-02, страница 41

ЭТОМУ В UJKOAS...*

правильная, то М — центр описанной сферы и N — центр вписанной сферы лежат на SO. Тут возможны два случая:

центр описанной сферы не совпадает с точкой О, центр описанной сферы совпадает с точкой О. Рассмотрим их отдельно.

Имеем: MS = MA = R, MN = NO = г, SN = R + г, SO = R + 2г (см. рис.). Возьмем сечение ASO (см. рис.) и проведем AM. Из д АМО по теореме Пифагора находим, что АО = У R" — 4г". Рассмотрим теперь сечение SOP, где Р — середина AF, и проведем РМ (см. рис ). Нетрудно най

ти, что ор =

V3 _Д(_ Y3 -

АО = _— . ]/_R.__4r..

Из A SOP по теореме Пифагора найдем, что

SP :

\

f\

(R + 2r)"+ — (R'-4r>). 4

Так как N — центр вписанной сфе >i, то PN — биссектриса угла Р. Используя известное свойство биссектрисы PN, из д SPO имеем:

SN _ SP NO РО

или

г + R

(R + 2r)« + — (R»—4r'J

V~3 .-

— V R«-4r»

R /--

Возведем это равенство в квадрат и обозначим * =——• Тогда к =

Так как х>0, то знак минус отбрасываем и получаем ответ: iiL ₌ i + 1/ _Z—

г Г 3

В другом случае АО = So = R, SN=R-r и OP = ^R ^ ³ .

2

Рассмотрим сечение SOP (см. рис.). Из д SPO имеем, что

SP

3R* R Y 7

Опять используя свойство биссектрисы, имеем:

R— г R У~7 • 2

2 • R 3

Отсюда

R г

= 1 +

п

Любопытно, что ответ в обоих случаях один и тот же Необходимо, однако, отметить, что в основном абитуриенты плохо решают задачи по стереометрии. Они ие могут прежде всего четко проанализировать пространственную картину. Например, в приведенной задаче немногие увидели два возможных расположения описанной сферы.

Затем важно научиться расчленять решение стереометрической задачи иа ряд более простых планиметрических задач, другими словами, важно удачно выбрать сечения. Наконец, из совокупности полученных ответов необходимо выделить решение именно данной задачи.

39