Юный техник 1981-01, страница 61

первые четыре места? За выигрыш команда получает 2 очка.

2. Существует ли треугольник, длины двух высот которого меньше 1 см, а площадь равна 400 см²?

3. Доказать, что если неотрицательные числа Х|, Х₂, Х₃ удовлетворяют условию

1

Xi + Х₂ + Хз < ^ > то справедливо неравенство

(1-Х,)(1-Х₂)(1-Х₃)>-|- .

4. Доказать следующее утверждение: если точка О лежит внутри треугольника ЛВС, то [OA] + [OB] + [ОС] < [АВ] + + {ВС] + [СА].

Сформулировать обратное утверждение. Верно ли оно?

5. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

а) равнобочная трапеция имеет одну и только одну ось симметрии; б) если четырехугольник имеет одну и только одну ось симметрии, то четырехугольник — равнобочная трапеция.

6. Доказать, что если рациональные числа а, в, с связаны равенством (а + с] = [в], то уравнение ах² -[-вх 4- с = 0 имеет рациональные корни.

7. Пусть О — точка пересече

ния медиан треугольника ABC. Доказать, что

ЗСО = СА + СВ.

8. Даны два утверждения:

а) уравнение х² + (а 4- 1)х + 1 = = 0 имеет два отрицательных корня;

б) неравенство 4х² + (а—2)х+1> >0 справедливо при всех значениях х.

При каких значениях а одно из этих утверждений истинно, а другое ложно?

9. Для того чтобы угол треугольника был острым, необходимо и достаточно, чтобы длина противолежащей стороны треугольника была меньше удвоенной длины медианы, опущенной на указанную сторону.

10. Один из учеников 8-го класса собрал 26 кг металлолома, а остальные его одноклассники — по 11 кг каждый. Один из учеников 9-го класса собрал 25 кг, а его одноклассники — по 10 кг. Сколько учеников в каждом классе, если оба класса собрали одинаковое количество лома, а общий вес собранного лома больше 400 кг, но меньше 600 кг?

11. Доказать, что данный разносторонний треугольник никакой прямой нельзя разделить на два конгруэнтных треугольника.

12. Доказать, что если сумма положительных чисел а, в, с равна 1, то

13. При каких а, в, с функции f(x) = ах + в, g(x) = сх² при любом х_е R удовлетворяют равенству

f(g(x)) = g(f(x))?

Директор ЗФТШ Т. ЧУГУНОВА

Рисунки Т. НЕФЁДКИНОЙ 57