Юный техник 1996-12, страница 80

ВС в точках М и N соответственно, так, чтобы AM = MN = BN. В каком случае MN будет параллелен АС?

5. Найти все натуральные числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, при делении на 3 дают остаток 2 и при делении на 5 дают в остатке 3.

6. Пассажир шел пешком на поезд и опоздал на 1 минуту. Если бы он последние полтора километра пути шел со скоростью на 1 км/ч больше, то он пришел бы раньше отправления поезда на 2 минуты. С какой скоростью шел пассажир?

7. Решить уравнение

>л/4х±3 _₂U

V х \

X _

4х+3

= 1.

8. В 12 кг раствора соли два раза добавляли по 6 кг раствора той же соли, но другой концентрации: концентрация добавляемого в первый раз раствора была в два раза меньше концентрации раствора, взятого первоначально; концентрация добавляемого во второй раз раствора была в три раза меньше концентрации раствора, полученного после первого добавления. В результате получился раствор 25% концентрации. Какова была концентрация первоначального раствора?

9. При каких b е R, с € R парабола у = х²+Ьх+с и прямая у = 2 пересекаются в двух разных точках А и В, причем площадь треугольника АОВ (где О — начало координат) не превосходит V2.

10. Решить неравенство

/Х+1/-/Х-2/

V9-X²

> 1.

11. Около равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС) описана окружность. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность в точке Д. Касательная к окружности, проходящая через точку Д, пересекает прямую АС в точке Е. Найти длины отрезков СД и ДЕ, если АВ = 8, а

sin (у ВАС)

12. Найти точки, в которых касательная к гиперболе у = (х+3)/(х—1) перпендикулярна прямой у = (1/4)х+5; написать уравнение касательных; нарисовать графики гиперболы и найденных касательных.

13. Решить систему уравнений:

[ /sin Зх/ = —V2 • sin у 1 cos 2y+2cos 2х • sin² 2х = 3/4

14. АВСД — выпуклый четырехугольник. На продолжении стороны АВ откладываем отрезок ВМ, ВМ = АВ; на продолжении стороны ВС откладываем отрезок CN, CN = ВС; на продолжении стороны СД откладываем отрезок ДР, ДР = СД; на продолжении стороны ДА откладываем отрезок AQ, AQ = ДА. Найти отношение площадей четырехугольников АВСД и MNPQ.

Задание по физике подготовил доцент кафедры общей физики МФТИ С.Д.Кузьмичев Задание по математике подготовила старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ Т.В.Михайлова

ж т