Техника - молодёжи 1968-08, страница 38

ФОРМЫ ПЛЮС ФОРМУЛЫ - ОРУЖИЕ МОЛОДОГО КОНСТРУКТОРА

Ёсли говорить о самой предпочтительной фигуре, то овал идет впереди с 38 голосами, после него угол (4 + 28—32 голоса) и, наконец, квадрат (17+13 — 30 голосов). Но стоит только ограничить выбор до двух фигур, и картина немедленно изменится.

вычеркните из всех строчек списка квадрат, тогда за порядок овал, угол будет 38+17—55, а за порядок угол, овал — 4+28 + 13-45 голосов. Итак, овал одерживает победу над углом: 55 против 45. Удаление овала дает перевес углу (38 + 4+28-70) над квадратом (17 + 13-30). Если же выбывает угол, квадрат (28 + 17+13 — 58) лидирует перед овалом (38 + 4—42). В результате овал предпочтительнее угла, угол — квадрата, квадрат — овала. А это уже круг — фигура, идеальная в геометрии, но порочная в логике!

Наш пример показывает, что совокупность выборов может вести к непоследовательности. Анализ предпочтений дает пищу целому направлению современных математических иссле-доВаний, в частности теории игр. Такой анализ отходит от проблемы наилучшего (вспомните опыт Фехнера) и стремится вскрыть структуру индивидуальных выборов, обнаружить характер группировки мнений или, наоборот, их «рассеи-вайия».

Социолог опрашивает школьников, как бы они расположили в порядке предпочтения десять профессий. Председатель приемной комиссии просит преподавателей сгруппировать экзаменационные вопросы по степеням трудности. Есть немало критериев, по которым устанавливается квалификация рабочих, инженеров и научных сотрудников. Определить, как группируются мнения относительно разного рода критериев, — в этом м состоит цель математического анализа предпочтений. А наиболее обширный материал для такого анализа дают, пожалуй, суждения о красоте.

Пусть речь идет о сравнительной оценке трех живописных произведений, которые для краткости обозначим буквами А, В и С (см. 4-ю стр. обложки). В этом случае процессу анализа можно придать наглядное геометрическое истолкование. Надо лишь каждую картину расположить на одной из осей прямоугольной системы координат, на расстоянии единичных отрезков от начала О.

Если через точку О проводить прямые, пронизывающие плоскость ABC, то проекции Оа, Ов₍ Ос единичных отрезков OA, OB, ОС на эти прямые будут неодинаковы. При нахождении проекций концы перпендикуляров — точки а, в, с — могут быть расположены в разной последовательности, например, в порядке с, а, в, как показано на рисунке (отсчет веДется справа налево, со стороны субъекта S, рассматривающего все три картины). Порядок точек на прямой OS и буДет демонстрировать выбор нашего испытуемого: он, оказывается, на первое место ставит картину С, на второе — картину А и на третье — картину В.

Правда, произведение, удостоенное первого ранга, испытуемый может оценивать гораздо выше по сравнению со вторым, чем второе по сравнению с третьим. Однако такого роДа оттенки в расчет не принимаются, анализ оперирует только с самим предпочтением, то есть простым порядком, а Котором перечислены три картины.

видов предпочтений может быть шесть: ABC, АСВ, CAB, СВА, ВСА, ВАС. Поскольку все они считаются равноценными, точки пересечения прямых OS с плоскостью ABC располагаются на окружности единичного радиуса с центром в точке D. Каждый выбор геометрически будет представлен одной из вершин правильного шестиугольника. У вершин можно проставлять числа — они покажут, сколько человек сделало данный выбор. Но это подход математика, а художник поступил несколько иначе: у соответствующего места единичной окружности он изобразил группу человеческих фигурок. Такой рисунок говорит о достаточном совпадении точек зрений. Фигурки, разрозненно стоящие по всей линии окружно** сти, наглядно свидетельствуют: мнения расходятся.

Точное определение реэуль* тагов можно дать математически , найдя положение точки N — она выражает среднюю тенденцию в выборах и является «центром тяжести» всех предпочтений. Если отрезок DN по величине близок к ра-

Рнс. К. Кудряшова

диусу единичной окружности, то выведенное среднее достаточно полно выражает коллективное мнение. Но чем меньше отрезок DN, чем ближе он к нулю, тем меньше оснований рассматривать среднюю тенденцию как выбор, с которым относительно согласны все опрошенные. Как раза этом случае разброс во мнениях может быть очень велик, и требуется дополнительный анализ для уяснения, из-за чего расходятся оценки вокруг математически средней.

Здесь умелый вычислитель уступает место тонко чувствующему эстетику, который подмечает причины, сближающие выборы одного сорта между собой, выборы другого сорта между собой и т. д. В итоге на нашей геометрической картине могут появиться «оси факторов». Одна из таких осей пройдет, например, вблизи точек-выборов, обусловленных вниманием к цветовому колориту картин, другая — к рисунку, третья — к пропорциям изображенных предметов.

Точно вычислить направление каждой оси, ее «вес» или степень важности — дело математика. Но группировка расходящихся предпочтений по сортам и высвечивание факторов, на основе которых возможна эта дифференцированная группировка, — в компетенции знатока прекрасного. Какая заманчивая возможность для творческого содружества «физиков» и «лириков»! Интерес метода совсем не в легкости, с какой можно вычислить средний выбор. Гораздо важнее определить характер рассеяния мнений вдоль осей факторов.

Математическая теория эстетических суждений — еще очень молодое направление исследований. Оно делает лишь первые шаги. Пожалуй, больше результатов получено не в анализе изобразительных произведений, а при их создании с помощью все тех же вездесущих чисел. Вслед за попытками сочинения музыкальных фраз на вычислительных машинах стали получать визуально наблюдаемые картины: орнаменты, различные типы симметрии, фирменные знаки и даже рисунки для мультфильмов. Плоды электронного творчества окрестили «машинной графикой».

С начала 60-х годов стали появляться цифровые счетные машины с оптическими устройствами на входе и выходе. Раньше, решая какое-нибудь уравнение, электронный мозг выдавал лишь числовые значения искомой функции в отдельных точках. Числа надо еще перенести на бумагу и соединить точки с помощью лекала. Теперь этот труд берут на себя автоматические вычерчивающие приспособления.

Вычислительную машину часто применяют для получения случайных чисел. Их можно превратить в элементы оптической картины — отрезки, углы, цвета и т. п. Так возник орнамент, который вы видите на 4-й странице обложки. Роль элементарных символов при его создании выполнили красные, синие и желтые квадраты. А ниже представлено еще четыре образца машинной графики. Они — результат последовательного умножения числовых матриц. После очередной математической операции оптическое устройство превращало матрицу в пеструю цветную картинку, поскольку каждое число связывалось с маленьким квадратиком определенного цвета. «Произведения» выдаются с головокружительной быстротой. Впрочем, эстетическая ценность их пока невелика.

Как бы то ни было, могущество чисел проявилось и в сфере творчества и в области восприятия. Где же перспективы более обещающие? Пожалуй, в анализе эстетических суждений. Можно думать, что математическая теория предпочтений раскроет, наконец, и тайну золотого сечения. Но эта тема требует особого разговора.

Парадокс голосования: совокупность последовательных выборов может вести к непоследовательности. Овал лучше угла, угол — квадрата, а квадрат — овала. Получается замкнутый круг — фигура идеальная в геометрии, но порочная в логине.