Техника - молодёжи 1979-02, страница 43
ФРАКТАЛИ-СТРАННОСТИ РЕАЛЬНОГО МИРА Все началось в 1904 году, когда малоизвестный немецкий математик фон Кох, изучая работы Георга Кантора и Карла Вейерштрассе, натолкнулся на описания некоторых «странных» кривых с необычным «поведением». Странность заключалась в том, что любой, даже ничтожно малый отрезок кривой в точности повторяет по свойствам саму кривую. Взяв лист бумаги, Кох принялся выстраивать «собственную» линию, нисколько не догадываясь, что отныне она навсегда войдет в математические анналы под именем «снежинки» Коха. «Снежинка» потрясла математический мир. Современники обозвали ее «чудовищем», монстром, математической патологией, не имеющей никакого отношения к реальному миру и никому не нужной. Но вскоре «чудовищными» кривыми заинтересовался эксцентрич- АЛЕКСАНДР МАЙСЮК, инженер ный английский метеоролог Льюис Фрэй Ричардсон. Ему вдруг понадобилось узнать точную длину береговой линии Англии. Пользуясь географической картой, ученый тщательно измерил периметр и сразу же понял — результат никуда не годится. Он пришел к парадоксальному выводу, что береговую линию вообще нельзя измерить. Ведь стоит только взять карту другого масштаба, и на ней тут же появляются невидимые ранее мысы и заливы. Как только он подступает к чертежу с определенной линейной мерой, в рельефе проявляются изгибы, все более мелкие. Ричардсон был поражен. Исследовав невероятную «снежинку» Коха, ученый обнаружил, что и она обладает тем же свойством «безразмер-ности». Так «чудовищная» кривая, сначала сугубо абстрактная, нашла отображение в реальном мире. ЧТО ДЕЛАТЬ С КООРДИНАТАМИ? Мир классической геометрии населен объектами с целым числом измерений. Шары, кубы, вообще объемные тела трехмерны, плоские фигуры описываются двумя измерениями, а линии одномерны. Размерность точки равна нулю. Все это прекрасно вписано в столь привычную нам трехкоординатную систему. Теория 'относительности, квантовая механика, Гильбертово пространство оперируют понятиями, «проживающими» в многомерной сйстеме, но при этом к трем координатам прибавляется всегда целое число координат до тех пор, пока их количество не достигнет бесконечности. В последние годы ученые все чаще и чаще сталкиваются с такими математическими и научными феноменами, которые «ведут» себя так, словно бы не хотят уживаться в привычных двух, трехкоорди-натных квартирах, и стремятся, подражая коховской «снежинке» и береговой линии, выйти из-под власти добропорядочных хозяев — длины, ширины и высоты. Почему? Посмотрим, как «образовывалась» «снежинка» Коха (рис. 1). Берем равносторонний треугольник. Каждое ребро его разбиваем на три равные части. На среднем отрезке снова строим равносторонний треугольник, мы как бы вытягиваем начальное ребро наружу. То же проделываем и с образовавшимися малыми ребрами. Процесс бесконечен и в пределе дает кривую Коха. А теперь обратим внимание: на каждой стадии периметр фигуры 4 увеличивается на —, а площадь ее о 1 только на ~! Кривая бесконеч- о на, но ограничивает конечную площадь. Она непрерывна, но вся состоит из четких углов. А это, между прочим, означает, что к ней нельзя провести касательную, и она, математически говоря, не решается дифференциально. И у «снежинки» Коха и у береговой линии есть удивительное общее свойство: количество выступов и впадин всегда одинаково, в каком бы масштабе мы их ни разглядывали. Правда, по сравнению со своей математической сестрой береговая линия чрезвычайно неправильна, но внутренняя сущность ее от этого не меняется. Чтобы убедиться в этом, изучим, подобно Ричардсону, несколько карт морского берега в разных масштабах. Впечатление такое, словно бы мы наводим 40 |
