Техника - молодёжи 1979-02, страница 44
ПРОБЛЕМЫ И ПОИСКИ на резкость зрительную трубу — то, что было общим контуром, оказывается, само состоит из все более мелких контуров. Если же вместо карт анализировать кривую Коха на разных стадиях ее построения, обнаружим то же самое. Такая одинаковость схемы при изменении масштаба называется самотождественностью. Из этого свойства следует уже известное нам поразительное следствие: длина не является адекватной мерой величины линии! Береговая граница геометрически должна быть одномерна, а вот метод измерения, прило-жимый к классическим одномерным объектам, к ней явно неприменим! «Хорошо, — скажем мы, — пускай она бесконечна, пусть ее нельзя измерить. Но все-таки это линия, она существует на плоскости, а любая плоскость образуется двумя координатами. Или береговая линия не имеет координат?» Ну что ж, мы повторили вопросы, которые мучили математиков начала века. А ответ прост: «снежинка» Коха и береговая линия (да и не только они) имеют дробную размерность! И система координат у них дробная. Звучит фантастично, но тем не менее это так. Это не линии и не плоские фигуры. Это нечто иное. Чтобы окончательно прояснить вопрос, проследим за рассуждениями американского математика Бену а Манде льброта из исследовательского центра «Томас Дж. Уот-сон». Возьмем отрезок прямой, разделим его на N равных частей, дли-1 1 ной R = — . Отсюда N = —. Такую N R же операцию проведем с квадратом. Видим, что N = — . Общая формула по Мандельброту имеет вид N = гр, где N — количество R одинаковых частей в масштабе R, a D — соответствующая размерность, или, грубо говоря, количество координат. Формула чрезвычайно проста, и тем не менее с ее помощью можно вычислить размерность «снежинки», понять, что это такое. Нужно только вернуться к описанию ее построения. Первоначальный отрезок кривой Коха (сторона треугольника) превращается в кривую, состоящую из четырех частей, то есть N = 4. Каждая часть, как упоминалось, подобна исходному отрезку, но уменьшена 1 в соотношении R== — . Из формулы о следует: D - log N/log (1/R) -= log 4/log 3 = 1,2618. Размерность кривой Коха действительно оказывается дробной и равна 1,2618. У реальной береговой линии размерность меняется от берега к берегу и в среднем держится в пределах от 1,15 до 1,25. Таким образом, чудовищная линия вовсе не патология, а реальность, имеющая меру. Рассмотрим теперь профиль горной цепи, изображенный на 4-й странице обложки. Вверху — снимок с натуры, а под ним — математический пейзаж, построенный ЭВМ по специальному алгоритму, разработанному Мандельбротом. Белые пятна, изображающие снег, добавлены для наглядности рельефа. Вроде бы гряда как гряда. Почти настоящая. Имеет определенный объем. Математик скажет, что у нее есть диаметр, поскольку любой горный хребет — «извращенная» сфера. Но вот площадь поверхности гряды «ведет» себя совершенно анормально. На поверхности существуют детали, которых нет ни на каком теле в классической Эвклидовой геометрии. С увеличением точности измерения, с появлением все новых пиков и впадин площадь растет до бесконечности. Измерения убеждают, что размерность такой поверхности не равна, как это ожидалось бы, 2. Она не двухко-ординатна. Описать ее по формальному алгоритму невозможно. На любом пике найдутся мелкие вершины и впадины, в любой впадине — крохотные пики. Мандельброт предложил называть такого рода объекты, не имевшие ранее «математического» имени — береговую линию, «снежинку», горную цепь и так далее, — «фракталями» (от английского fractional — дробный), подчеркнув, что «чудовища» вопреки сложившемуся мнению математиков распространены в реальном мире намного шире, чем это казалось раньше. ГДЕ ЖИВУТ ФРАКТАЛИ? Яркий пример фрактальности — броуновское движение. Если рассматривать путь, проделываемый молекулой, все более и более подробно, то длина пути возрастает (бесконечно. Окончательно начертить его невозможно. Сходство между молекулярными траекториями и «чудовищными» кривыми подметил лауреат Нобелевской премии Жан Перрен. Премию он получил за (работы по броуновскому движению. «Удивительное явление, — поражался ученый, — исследуя траектории, приходишь к выводу, что имеешь дело с функцией, абсолютно лишенной производных. Это то, чему в математике нет названия...» Можно понять его удивление, но не поразит ли и нас странное сходство береговой линии и броуновской траектории? Что это, Рис. 1. «Снежинка» фон Коха на разных стадиях ее построения. Современники математика называли ее «чудовищем». чистая случайность? Казалось бы, одно дело — граница между морем и сушей, совсем другое — тепловое движение молекул. Или природа бесконечна в своей «похожести», и в самых разных ее областях мы сталкиваемся с одними и теми же закономерностями? Вот, например, «феномен Ципфа» в статистической лингвистике. Суть его в том, что частота употребления слов в самых различных языках почти одинакова и отображается некоторой эмпирической кривой. Долгое время никто из ученых не мог объяснить такую универсальность. Мандельброт заметил, что кривая эта слишком уж похожа на фракталь. Так оно и оказалось. «Феномен Ципфа» иллюстрирует самотождественность лексикографического «дерева» (так графически можно представить систему взаимосвязей в любом языке), а размерность «дерева» характеризует богатство, развитость языка. В (недавно вышедшей книге «Фрактали: форма, случай и размерность» Мандельброт приводит многочисленные и удивительные примеры того, как фрактали по 41 |
