Техника - молодёжи 1986-06, страница 45

«математических» работ Эшера. Да и вообще, сильно развитое чувство бесконечности окружающего пространства, присутствующее в работах многих крупных художников, не имеющих специального математического образования, коренится в том обстоятельстве, что каждый из них создавал свои приемы изображения бесконечности «конечными средствами». Ведь на полотне можно изобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность, и тот, кому удается лучше всего «обмануть зрителя», достигает наибольшего эффекта. Поэтому-то, начиная с эпохи Возрождения, многие живописцы серьезно изучали не только теорию перспективы, но и более глубокие математические конструкции, пытаясь проникнуть за границы, которые ставит конечность нашего «уютного мира».

В заключение отмечу, что в современной математике есть много понятий столь же глубоких, как понятие бесконечности, и заслуживающих того, чтобы каждому из них был посвящен свой «рассказ».

... И В ФИЗНКЕ

Михаил ГЕРЦЕНШТЕЙН,

доктор физико-математических наук

Лирика и математика — что, казалось, может быть противоположнее. Но противоположности часто сходятся, а иногда лирики задают математикам глубокие вопросы. Как правило, математики (а вместе с ними и физики — ведь физики без математики сегодня нет и быть не может) от этих вопросов просто отмахиваются. Но иногда, спустя время, вдруг оказывается, что вопросы лириков имели такой подтекст, о котором ученые даже не подозревали.

В статье известного физика Е. Виг-нера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» отмечается, что математика — это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Какое отношение это имеет к реальному миру? И где и когда строгое соблюдение правил, придуманных математиками, может привести физиков к ошибочному результату?

Возьмем, к примеру, мир целых вещественных чисел. Мы знаем, что к любому Целому числу можно прибавить единичку и получить еще большее число. Если выполнять эту операцию п-+оо раз, то получится бесконечность; то же самое получится, если удваивать число. Вместе с тем любое число можно разделить,пополам, получив меньшее вещественное число, которое можно и дальше делить пополам, повторяя эту операцию хоть п-^оо раз.

< Но в реальном мире, увы, не удается совершить переход оо. Например,

если мы начнем удваивать отрезок длиной всего 1 см, то всего лишь после примерно 100 подобных операций получим отрезок, равный размеру всей нашей Вселенной, и его дальнейшее удвоение потеряет физический смысл. И наоборот, если мы начнем делить пополам отрезок длиной 1 см, то спустя всего около 50 таких операций получим отрезок, равный границе малых расстояний, к которым экспериментально приблизилась современная физика. Так почему же математика, пользующаяся явно невыполнимыми в реальном мире операциями с бесконечностями, все-таки дает физике правильные ответы на вопросы о том Же реальном мире? В этом-то и заключается суть вопроса, поставленного Вигнером, если его отнести к проблеме бесконечности.

Лирику тут самое время позлорадствовать: если вы, физики, размышляя, прибегаете к невыполнимым в реальном мире операциям, то стоит ли удивляться, если в ваших теориях получаются бесконечности, а не разумные конечные величины? В оправдание можно сказать, что и в самой математике есть проблемы, связанные с бесконечностями.

А именно, до недавнего бремени математики были искренне убеждены, что в их строжайшей науке, основанной на конечной системе аксиом, невозможно ничего ни прибавить, ни убавить. Ан нет, оказалось, что в рамках конечной системы аксиом могут существовать утверждения, истинность или ложность которых нельзя установить, и поэтому к математике можно добавлять сколь угодно много новых аксиом, и ее стройность от этого не нарушится...

Лирик, по-моему, зря «лягает» физиков, написав пусть даже в сослагательном наклонении: «...получается, что классическая механика вроде бы не описывает ничего».. Любое описание природы есть относительная истина, всегда лишь приближенная к неизвестной нам истине абсолютной. Приближенная как вследствие причин принципиального характера (неточности уравнений классической механики), так и вследствие довольно прозаических причин (для практики излишняя точность описания подчас так же вредна, как и недостаточная).

Не понравились мне и слова о взглядах на мир «извне» и «изнутри». Мне кажется, что они излишне подчеркивают роль наблюдателя. Но в последнем виноваты и fabi, физики: о роли наблюдателя слишком много говорят при изложении основ квантовой механики и теории относительности.

И в квантовой механике, и в теории относительности мы прежде всего должны как-то связать пространство и время с объектами, которыми занимаются математики — в простейшем случае с числами. Но как? Вакуум — не поверхность Земли, в нем не расставишь верстовые столбы! Конечно, можно оставить в покое какой-либо предмет и

считать его точкой отсчета. Но если этот предмет движется по инерции с какой-то начальной скоростью, то за время, пока ведется наблюдение, точка отсчета может сместиться в неизвестном направлении на неизвестное расстояние. Что делать в этой ситуации? Как перебросить мост между физикой и математикой?

Поэтому в теории относительности и приходится говорить о координатной системе того или иного наблюдателя, не вдаваясь в подробности того, что это значит. Тем не менее именно такой подход позволил получить интересные выводы, подтвержденные экспериментально. Замечу, что некоторые особенности моста, соединяющего математику с реальностью, были выяснены сравнительно недавно: например, оказалось, что, невзирая на лоренцево сокращение, движущийся шар выглядит не эллипсоидом, а шаром, и это тоже удалось экспериментально подтвердить!

Волновые свойства электрона определяют характер спектра излучения атома, а ведь спектр излучения не зависит от того, будет ли его кто-либо наблюдать. Естественно, что. если квант поглотится в одном месте, то он не может одновременно поглотиться где-либо еще. Если на пути кванта поместить экран с двумя отверстиями, то квант, как любая волна, будет проникать сразу через оба отверстия и давать интерференционную картину, которую удается наблюдать даже на космических расстояниях. Но если за отверстиями расположить приемники фотонов, то квант заставит сработать только Один из них; спрашивается — как второй приемник узнал (со сверхсветовой скоростью, мгновенно!) о том, что сработал первый?

Тем не менее и квантовая механика, и теория относительности — это теории без внутренних противоречий и, несмотря на то, что они противоречат так называемому «здравому смыслу», представляют собой твердо установленные относительные истины.

В завершение несколько слов о мирах-матрешках. Спору нет, сама по себе идея красива, и она часто обсуждается в серьезной физической литературе. Но, по моему мнению, она лишь свидетельствует о бедности фантазии авторов. Количественные изменения всегда приводят к изменениям качественным: матрешки не могут быть совершенно одинаковыми по своим свойствам, различаясь только размерами. Действительно, из этой поэтической гипотезы пока не удалось извлечь никаких конкретных следствий, доступных экспериментальной проверке,— скорее ее некоторые выводы противоречат уже известным фактам.

...Лирические мысли о бесконечности оказались достаточно глубокими и позволили поговорить о том, что находится на переднем крае современной науки. Надо надеяться, что этот разговор будет продолжен.

Но, конечно, не до бесконечности.

43