Техника - молодёжи 1986-06, страница 44

БЕСКОНЕЧНОСТЬ:

В МАТЕМАТИКЕ..

Анатолий ФОМЕНКО,

профессор,

доктор физико-математических наук

Очерк В. Жвирблиса вводит читателя в мир психологических ощущений и образов, рождаемых идеей бесконечности. Однако основное внимание автор уделяет логическому аспекту понятия «бесконечность» — безусловно, важному, но далеко не единственному. Возможно, настало время, опираясь на опыт современной математики и ее приложений, перейти от небольшого эскиза о бесконечности к созданию развернутого полотна, в котором отразились бы основные представления и мысли, что волнуют физиков и математиков на протяжении многих десятилетий и даже столетий в связи с этим глубоким натурфилософским и математическим понятием. Такой «заказ» может быть выполнен лишь в результате тесного сотрудничества многих специалистов: физиков, математиков, философов. Насколько мне известно, подобное сочинение пока отсутствует. Для любознательного читателя укажу ёще одно из направлений математики, в котором понятие бесконечности поражает не только своей философской глубиной, но и поразительной наглядностью. Это — современная геометрия и топология.

Каждая область современной математики (геометрия, алгебра и т. д.) обладает своим «рисунком бесконечности», связывает с этой идеей свой набор психологических образов и эмоций. Естественно, что нагляднее всего эти образы в геометрии. Геометрическая бесконечность наиболее доступна для демонстрации и в то же время чрезвычайно сложна, поскольку часто вступает в конфликт с нашей геометрической интуицией, основанной на повседневном опыте. Дело в том, что физиологические механизмы восприятия, вероятно, не в состоянии адекватно реагировать на абстрактное интеллектуальное задание «представить геометрическую бесконечность», и наш мозг вынужден подменять «подлинную бесконечность» интуитивно более понятным и грубым геометрическим объектом, иногда совершая при этом незаметную ошибку, подстановку. Поэтому геометрическая интуиция, являясь мощным средством постижения математической истины, может иногда коварно приводить к серьезным ошибкам, от которых, как показывает опыт, не застрахованы и опытные исследователи.

Возьмем, к примеру, еще со школы

знакомое понятие линии. Если не спеша, более тщательно его продумать, то оно вскоре обнаружит всю свою сложность. На языке математики линия (кривая) является «одномерным объектом», имеет «одно измерение». Евклид пытался определить линию как «длину без ширины». Классическая механика XVIII—XIX вв., опиравшаяся на конкретные эксперименты, выработала следующее естественное представление о линии (кривой). Если рассмотреть движущееся в пространстве тело достаточно малых размеров (бесконечно малую точку), то траекторию его движения можно назвать линией. Таким образом, линия (кривая) — это след движущейся точки. При этом, конечно, в первую очередь заслуживает изучения случай «непрерывного движения», когда точка не делает мгновенных неожиданных скачков, то. есть когда ее след не имеет разрывов. Поскольку движение точки происходит во времени, то, выражаясь языком математики, можно сказать, что линия является образом отрезка времени при непрерывном отображении (отрезка) в пространство. До тех пор, пока мы имеем дело с обычными, не очень сложными механическими системами, такое понятие линии hdc вполне устраивает. Интуитивно ясно, что непрерывное, не очень сложное движение точки изображается одномерным объектом — линией. Однако стоит перейти к рассмотрению «бесконечных процессов», как сразу обнаруживается недостаточность нашей формулировки и, следовательно, ограниченность нашей геометрической и механической интуиции, на которой было основано это понятие. Дело в том, что указанные линии изображают лишь «не очень извилистое» движение точки. А теперь предположим, что она начинает очень часто менять направление своего движения, и пусть число таких «изломов» нарастает и стремится к бесконечности (все это можно описать совершенно точно). Тогда сложный след точки может оказаться совершенно непохожим на обычную одномерную линию. Например, он может оказаться квадратом, сферой, шаром или даже так называемой л-мерной фигурой, где «размерность» п может быть сколь угодно велика. Опять-таки, прибегая к языку математики, можно сказать, что все эти объекты являются непрерывными образами одномерного отрезка. В то же время они согласно нашему первоначальному определению являются линиями. Столь странное обстоятельство было впервые подмечено итальянским математиком Д Пеано в 1890 году, в честь него описанные «кривые» и называются кривы

Этот рисунок А. Фоменко трактуется следующим образом: «Математическая бесконечность в геометрии и топологии. Одним из способов изучения бесконечности является так называемый асимптотический метод рассмотрения очень больших (но конечных) величин».

ми Пеано. Итак, наша геометрическая интуиция (рисующая нам «одномерные траектории движения точки») терпит поражение при столкновении с бесконечным процессом построения достаточно сложной линии.

Современная геометрия знает много примеров подобного рода, и во всех них так или иначе присутствует бесконечная процедура (актуальная бесконечность), разрушающая в итоге наши привычные представления, сложившиеся на основе повседневного, «конечного» опыта. Этим обстоятельством удачно воспользовался при создании своих замечательных графических работ известный французский художник М. К. Эшер, гравюры которого неоднократно публиковались в нашей научно-популярной прессе. С одной стороны, он изображал «бесконечно сложные объекты», а с другой — «невозможные объекты» (вечные двигатели и проч.), умело эксплуатируя несовершенство и ограниченность нашей геометрической интуиции. При этом он опирался на математические конструкции, применяемые в современной алгебре, геометрии, кристаллографии и т. п. Именно глубоким проникновением в природу геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя

42