Юный техник 1968-02, страница 40

ПРОВОДНИК ¹

В МИРЕ

точности

в. РОТАРЬ

Мы строим график функции у=х² — график обыкновенной параболы. Рассмотрим точки х= —2, —1, О, 1, 2. Тогда у(—2)=4, у(—1)=1, у(0)=0, у(1)=2, у(2)=4. Теперь методом «построения по точкам» мы должны отметить на координатной плоскости точки (—2, 4), (—1, 1), (О, О), <1, 1), (2, 4) (см. рис. 1) и плавно соединить их между собой (кривая 1 на рис. 1). Но почему, собственно говоря, мы соединяем отмеченные точки «плавно» и где гарантия, что между точками (1, 1 и 2, 4) график функции представляет собой кривую 1, а не кривую 2 или даже кривую 3?

Если мы рассмотрим большее количество точек (например, добавив 3 9

точку ■

—, то положение не изменится — опять мы не будем знать, 4

как ведет себя график между рассматриваемыми точками. Теперь уже нетрудно понять, что для точного построения графика функции этим способом нужно рассмотреть бесконечную последовательность точек.

В чем же причина нашей неудачи? А в том, что мы интересовались, чему равны значения функции в отдельных точках, в то время как нужно было исследовать поведение функции у(х) в целом, при всех значениях х из области определения.

Вернемся к функции у=х² и попытаемся выяснить ее характерные свойства. Во-первых, эта функция четная — у(—х)=у(х), следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (ось у) и нам достаточно построить график лишь при Во-вторых, на оси симметрии, то есть при х=0, у(х)=у(0)=0. Отметим это (см. рис. 2). В-третьих, значения функции у(х) при х^О с увеличением х возрастают: если х₂>х_ь то и у(х₂)>у(х,). В-четвертых, когда значения х неограниченно возрастают (х -}- сю), значения у также неограниченно возрастают (у(х) оо ).

Теперь построим хорошо известный график параболы, а значения функции в отдельных точках помогут нам уточнить (только уточнить) положение параболы на плоскости координат (см. рис. 2).

Перейдем теперь к более сложным функциям. Построим, например,

график функции у (х) = 2*. При х=0 функция не определена. Точка х=0 — особая точка нашей функции, и мы должны обратить внимание на поведение функции возле нее. Если значения х приближаются к нулю.