Техника - молодёжи 1940-02-03, страница 49

зтарость постоянной на участке в I метр. А ведь есть еще сантиметры, миллиметры и т. д.

Однако здесь возникает вопрос, какие именно отрезки пути нужно ;брать, чтобы обеспечить если и не абсолютную, то все же достаточную 'точность? Очевидно, такие, которые были бы не больше величины допускаемой нами ошибки.

Предположим, что для нашего расчета достаточно определить скорость автомобиля в какой-либо момент с относительной точностью до !|%. Это значит, что допускаемая вами ошибка не должна превышать Ум ИСТИННОЙ СКОРОСТИ.

Поступаем следующим образом. Весь путь, пройденный автомобилем за время торможения, равен 1 тыс. метров. Следовательно, три заданной нами степени точности необходимо выбрать такой отрезок пути, длина которого была бы не больше 10 метров. Но, чем меньше будет stot отрезок, тем точнее получится результат; и наоборот, чем точнее требуется результат, тем меньше должен быть выбираемый нами отрезок пути.

Так поступили мы в частном, конкретном случае, когда необходимая степень точности была нам заранее известна. Тут мы действовали подобно тому рабочему, который про-иеряет размеры совершенно определенных и одинаковых деталей по одному заранее выработанному образцу — эталону.

А теперь воспользуемся другим инструментом, таким, который позволяет измерять детали любых размеров и любой формы. Теперь установим общий метод, который можно было бы применить к любому конкретному случаю и любой степени точности.

Чтобы наш метод был универса-I лен, т. е. удовлетворял различным Iслучаям, условимся, что выбираемая нами величина (скажем, отрезок пути) может стать меньше какой угодно малой наперед заданной величины, т. е. может уменьшаться без¹

давление, тем больше и величина давления жидкости.

всякого ограничения, бесконечно. Теоретически это вполне возможно. Путь, пройденный автомобилем, можно разбить мысленно на сколько угодно частей: на сто, тысячу и т. д. Можно даже вообразить такой непрерывный процесс, при котором каждый вновь получаемый в результате деления отрезок пути тотчас сокращается вдвое. И этот процесс можно представить себе бесконечным. Это значит, что каждый раз будет получаться все меньший и меньший отрезок пути, без какой-либо границы для дальнейшего уменьшения. Однако этот отрезок ке исчезнет вовсе. Величина его чем дальше, тем меньше будет разниться от нуля, но не превратится в нуль. В данном случае нуль представляет тот предел, к которому эта непрерывно уменьшающаяся величина стремится, ло которого никогда не достигает.

Такие переменные величины, которые могут уменьшаться бесконечно, называются бесконечно малыми. Их обозначают в математике с приставкой d, в нашем случае бесконечно малый отрезок пути обозначается dS\ при этом d не есть какая-то величина, на которую множится S, это только условный, символический знак, который показывает, что речь идет о бесконечно малой величине. Такая величина dS и есть диференциал пути.

Поскольку во время торможения скорость автомашины изменяется не скачками, а непрерывно, плавно, то очевидно, что бесконечно малому отрезку пути (или диференциалу пути) (^соответствует бесконечно малый промежуток времени (или диференциал времени) dt. Следовательно, скорость движения автомобиля при торможении будет уже dS

БЫражаться формулой: t; =-gjr •

Такое отношение бесконечно малого и непрерывно уменьшающегося отрезка пути к бесконечно малому и непрерывно убывающему промежутку времени называется производной пути по времени. Эта производная и есть не что иное, как скорость автомашины в каждый данный момент времени.

Как же вычислить это отношение двух бесконечно малых величин диференциала пути к диференциалу времени? Ответ на этот вопрос дает обширный раздел высшей математики — диференциальное исчисление.

Так понятия диференциала и производной позволили нам сложный случай неравномерного движения свести к простому случаю равномерного движения при небольших, практически допустимых ошибках. Здесь, пользуясь, так сказать, малыми средствами, нам удалось достигнуть больших результатов. В этом — величие и практическая мощь диферен-циального исчисления.

Может показаться, что сделанный нами сейчас, вывод слишком смел. В самом деле, можно ли на основании какого-то случайного примера с движущейся автомашиной делать широкие обобщения и утверждать, что мы получили нечто очень ценное для теории и практики?

Чтобы дать ответ на этот вопрос, рассмотрим какой-либо другой случайно взятый пример. Пусть имеется большая цистерна и необходимо определить величину давления нефти на боковые стенки этого резервуара.

Сначала решим более простую задачу: уясним, что представляет собой давление нефти на дно цистерны. Поступим следующим образом: выделим на дне цистерны некоторый участок; установим на этом участке какой-либо прибор, измеряющий общую силу давления жидкости. Если произвести такое изме-

Если в баке имеется жидкость, то ее давление на боковую стенку возрастает с увеличением глубины. Чем больше глубина, тем больше и давление.

рение, то можно заметить, что величина давления зависит от размеров площади, на которую она приходится.

Видимо, для решения нашей задачи нужно выбрать какую-то определенную площадь. Чтобы получить возможно более простое решение, возьмем площадку размером в 1 кв. сантиметр. Давление в килограммах на площадь в 1 кв. сантиметр и будет ответом на интересующий нас вопрос.

Однако не всегда можно выделить площадку такого размера. Чаще приходится иметь дело с какой-то неопределенной площадью Q, воспринимающей силу F. Чтобы и в этом случае избавиться от неопределенности, постараемся вычислить, какая сила действовала бы на площадку размером в 1 кв. сантиметр. Эта сила, очевидно, будет равна общему давлению нефти, деленному на площадь дна цистерны, т. е. р — ^ . где р — давление в килограммах на квадратный сантиметр, F — вес или общее давление нефти в килограм