Техника - молодёжи 1999-06, страница 19

меты под углом до 1или, в радианах, — не менее 0,00029. Корабль размером, скажем, в 14,5 м, виден под углом в 1' на расстоянии d = 14,5/0,00029 = 50 000 м = 50 км.

Теперь найдем общее превышение высоты холма и местности над уровнем моря, обеспечивающее такую дальность обзора. Искомое превышение h — не что иное как внешняя часть отрезка секущей, проходящей через центр Земли, а рассчитанное расстояние d — касательная, проведенная к ее поверхности из верхнего конца отрезка внешней секущей. По теореме о длине касательной: d² = (2r+h)h, откуда следует квадратное уравнение h²+2rh-d²=0, где г=6371 км — средний радиус Земли. Решением является h=-r+(r²+d²)^1/2 = 0,2 км = 200 м.

Рассчитанное нами превышение раскладывается на два слагаемых: высоту холма — около 16 м и высоту местности над уровнем моря — 184 м. Чтобы точка на местности с небольшим (1°) углом наклона к морю имела превышение над ним

в 184 м, ее достаточно взять на расстоянии 184/sin(1°) = 10,543 км.

Таким образом, если насыпать холм высотой 16 м в 10 — 11 км от моря, то с его вершины можно обозревать не только долину, но и около 40 км морского пространства, что вполне согласуется с описанной поэтом картиной. Склон долины может быть еще более пологим, так как из-за преломления световых лучей в атмосфере, особенно над морем, дальность обзора увеличивается, по крайней мере, на 3 км.

Весь этот разговор по столь курьезному, казалось бы, поводу затеян нами вовсе не для того, чтобы лишний раз повторить прописную истину: интуиция художника нередко оказывается точнее примитивных (в сравнении с живой природой) математических выкладок. Осмелимся заметить, что Пушкину, если бы в его время нашелся подобный популяризатор геометрии, не было бы до его пассажей никакого дела. Приведенными здесь примерами

хорошо иллюстрируются нарушения методологии математического моделирования в области точных наук, что не представляет опасности для поэзии, якобы «опровергаемой» такими негодными методами, но вредит самим точным наукам. И нам представляется уместным закончить эти заметки предостережением академика А.А. Самарского и доктора физико-математических наук Ю.П. Попова: «... математическая модель — это не только уравнения, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости. Все полученные с помощью этой модели теоретические результаты будут справедливы только в оговоренных рамках. И бездумное распространение результатов математического моделирования за эти рамки чревато самыми неожиданными последствиями... недопустимо жертвовать ради стремления к простоте различными физическими эффектами... в этом случае модель начнет давать абсурдные результаты...». •

Михаил ДРУЖИНИН, инженер-метролог, Санкт- Петербург

Согласно эмпирическому правилу Тициуса — Боде, вошедшему во все справочники, расстояния планет от Солнца можно вычислить по формуле Rn = 0,1(3,2^N + 4), где для Меркурия N = — оо, для Земли N = 1 и далее по порядку. Формула простая, но откуда в ней взялись такие коэффициенты?

В чем их физический смысл? Да ни в чем! Они, как говорится, взяты с потолка. Тем более, что для Плутона эта формула дает ошибку в 96%.

ЗОЛОТОЕСЕЧЕНИЕСОЛНЦА

Я попробовал сам найти закон, лежащий в основе строения Солнечной системы, но обратил внимание не на расстояния планет от Солнца, а на их средние скорости движения по орбитам. Приняв для Земли за единицы расстояние от Солнца (так называемую астрономическую единицу длины), а также период обращения и скорость нашей планеты, и вычислив в этих единицах скорости остальных планет, получил график, изображенный на рис. 1.

Увы, уж больно извилиста эта кривая, а природе присуща красота, гармония...

Давно известно, что гармонию окружающему миру придает так называемое золотое сечение: его можно обнаружить и в произведениях искусства, и в живой природе. Так, может быть, оно лежит и в основе строения Солнечной системы?

«Золотое сечение» определяется так. Если любое целое состоит из двух частей, и если

5 Техника молодежи N° 6

это целое относится к своей большей части так же, как эта большая часть относится к меньшей, то тогда и возникает ощущение гармонии, завершенности, совершенства. Эту замечательную пропорцию определяют числа: Фо = (V5 — 1) / 2 = 0,618034... и Ф =(V5 + 1)/ 2 = 1,618034..., причем Фо = 1 / Oi . Взяв за основу число Фо^М/3, можно построить график зависимости орбитальных скоростей планет от их порядкового N, имеющий вид плавной, красивой кривой (рис. 2); этому же закону подчиняются и расстояния планет от Солнца.

Почему такая кривая получается при возведении числа Фо в степень N/3 — не знаю (не связано ли это с трехмерностью пространства?); в свое оправдание скажу лишь, что Иоганн Кеплер тоже выводил законы движения планет чисто эмпирически, путем подгонки результатов наблюдений Тихо Браге В данном же случае важно, что планеты Солнечной системы действительно расположены совершенно закономерно и, притом, явно группируются в некие «тройки»: особняком же стоят лишь Меркурий, гипотетическая планета Фаэтон, расположенная на орбите астероидов, и Уран. Получается изящная система: 1-3-1-3 (?)-1-3 (?).

Не буду строить догадок — почему погиб Фаэтон, распавшись на множество осколков, на этот счет существует множество гипотез. Интереснее два других вопросительных знака, по номерами 6 и 13. Например, можно предположить, что между Юпитером и Сатурном тоже когда-то существовала планета, разорванная мощными гравитационными полями этих гигантов и давшая начало многочисленным спутникам и кольцам. А что касается номера 13 («чертовой дюжины»!), то мо

жет быть там расположена таинственная планета Немезида?

А если двигаться к центру Солнечной системы, то и тут получаются интригующие результаты. Так, если существует планета Вулкан, то она должна находиться от Солнца на расстоянии 0,2 астрономические единицы и обращаться вокруг него с периодом около 33 суток, что близко к скорости вращения фотосферы нашей звезды А если положить N = - 34 (отрицательному знаку не следует удивляться, ведь

мы с самого начала условились вести отсчет от Земли!), то для соответствующей орбиты получится величина, близкая к радиусу самого Солнца... Может быть, этому принципу подчиняются и внутренние структуры небесных тел?

Конечно, в природе не бывает абсолютного совершенства, в нарушении строгой гармонии тоже есть элементы красоты. Поэтому не стоит удивляться, что реальные параметры некоторых планет несколько отличаются от вычисленных по моим формулам. В идеальный порядок совершенно точно вписываются Меркурий, Венера, Земля и Сатурн; для Марса ошибка составляет около 10%, для Юпитера — 4%, для Урана — 6%, для Нептуна — 13%. Самая большая ошибка получается для Плутона — 18%. Но вспомним: формула Тициуса — Боде дает для него ошибку в 96%! •

(См. так же с. 34)