Техника - молодёжи 1971-05, страница 67
Математическая СТРАНИЧКА „Пифагоровы штаны на все стороны равны сс По меткому замечанию академика А. Крылова, безукоризненно строгие математические доказательства нередко представляются учащимся торжеством ло- А вот другое наглядное решение. Ясно, что любой прямоугольник можно воспроизвести в четырех экземплярах и сложить их в квадрат так, как показано на рисунке 2 вверху. Тогда белый квадрат, оказавшийся внутри большого квадрата, образованного синими треугольниками, будет квадратом, построенным на гипотенузе нашего треугольника, а его площадь будет равна площади большого квадрата минус площадь четырех синих треугольников. Передвинем синие треугольники так, как показано на рисунке 2 внизу. Теперь два белых квадрата будут квадратами, построенными на катетах нашего треугольника. Но поскольку при передвижении синих треугольников внутри боль- I. гики над здравым смыслом. И действительно, многим из тех, кто изучал школьную геометрию, выводы некоторых теорем кажутся весьма искусственными построениями. К числу таких теорем относится и -знаменитая теорема Пифагора, при упоминании которой на память сразу же приходят громоздкие построения и рассуждения. А между тем существует множество наглядных, остроумных, увлекательных приемов, доказывающих: сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе. Взгляните на рисунок 1. Сразу без всяких построений видно, что в двух синих квадратах, примыкающих к катетам прямоугольного треугольника, содержатся четыре равных треугольника. И столько же содержит квадрат, примыкающий к его гипотенузе. Конечно, этот рисунок не доказательство, а иллюстрация лишь одного частного случая, в котором рассматривается равнобедренный прямоугольный треугольник. Американский любитель математики Э. Лумис собрал и опубликовал 367 различных доказательств теоремы Пифагора. Одно из них представляет особый интерес, ибо оно — единственный в истории вклад в математику, сделанный американским президентом. Эта честь выпала на долю Гарфилда, который опубликовал свое решение в 1876 году, будучи членом конгресса. По свидетельству самого президента, решение это появилось в результате «математических развлечений с другими конгрессменами, и мы убеждены, что на этой проблеме члены обеих палат конгресса могут объединиться, независимо от партийной принадлежности». На гипотенузе прямоугольника ABC (рис. 5) шого квадрата площадь белой поверхности постоянна, ясно, что площадь белого квадрата на рисунке 2 вверху в точности равна сумме площадей двух белых квадратов на рисунке 2 внизу. В 1945 году американский математик Баравилль придумал еще одно наглядное доказательство теоремы Пифагора. Последовательность геометрических преобразований Баравилля приведена на рисунке 3 и не нуждается в пояснениях. Теорема Пифагора таит в себе немало неожиданных следствий. Многие ли знают, что она справедлива для площадей не только квадратов, но и любых других подобных между собой фигур, построенных на катетах и гипотенузе? Это значит, что если на сторонах прямоугольного треугольника построены полукруги, треугольники, шестиугольники и другие подобные между собой фигуры, то сумма площадей фигур, лежащих на катетах, равна площади фигуры, лежащей на гипотенузе. Знаменитый математик древности Папп нашел еще более удивительное обоби^ние (рис. 4): если на двух малых сторонах любого треугольника построить два произвольных параллелограмма, продлить их стороны до пересечения в точке Р, на продолжении линии PC отложить отрезок QR =РС и построить параллелограмм АВУХ, то его площадь будет равна сумме площадей параллелограммов, построенных на меньших сторонах треугольника. Нетрудно убедиться, что теорема Пифагора — частный случай теоремы Паппа. 4. строится равнобедренный прямоугольный треугольник СЕВ. Сторона АС продолжается до пересечения с перпендикуляром ED, опущенным из точки Е. Синий треугольник равен треугольнику DCE, поэтому АВ DC и АС «в DE. Мы предлагаем читателям померяться силами с американскими конгрессменами и закончить доказательство Гарфилда самостоятельно. М. ГАРДНЕР Перевод с английского 62 |
