Техника - молодёжи 1962-03, страница 46




Техника - молодёжи 1962-03, страница 46

ПРИЧУДЫ ГЕОМЕТРИИ

I.

«Недостаточно только знать, надо и применять». Это пожелание Гёте невольно приходит в голову, когда изучаешь историю геометрии — науки столь древней, что математиков до XVII столетия называли просто геометрами. Тем не менее даже в наши дни в этой хорошо изученной области можно обнаружить удивительные, порой необъяснимые закономерности. Важность и практическая ценность некоторых из них самоочевидна, иные же остаются забавными курьезами до тех пор, пока вдруг не найдут себе самого неожиданного и удивительного применения. Одно несомненно: прежде чем применять, надо знать; поэтому математические курьезы имеют большую ценность.

Бильярд издавна привлекал к себе внимание ученых, которых он интересовал не как игра, а как предмет научного исследования.. Достаточно ска-(ать, что движение и соударение шаров изучали Пуассон, И. Эйлер, сын Леонарда Эйлера, М. Остроградский, С. Чаплыгин, а Г, Кориолис работу «Автоматическая теория явлений бильярдной игры» считал своим самым любимым произведением. .

Однако этих ученых больше интересовали механические задачи, нежели геометрические. Впрочем, последние особого интереса (и не представляли. И только известный писатель и математик Льюис Кэролл, автор «Алисы и стране чудес», попробовав изучить движение шара по круглому бильярдному столу, обнаружил удивительные вещи.

Если шар пустить по диаметру круг-

ЧТО ЧИТАТЬ ПО СТАТЬЯМ ЭТОГО НОМЕРА

„Антибиотики—помощники сельскохозяйственного производства"

Солнцев К. М., Использование антибиотиков в животноводстве. Минск, Госиздат БССР, 1961, 28 стр.

„Новые профессии неслышимых звуков"

Краснльников В. А., Звуковые и ультразвуковые волны. М„ Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960.

Бергман Л., Ультразвук и его применение. М., Изд-во иностр. литературы, 1957.

Кудрявцев Б. Б., Неслышимые звуки. М„ изд-во «Молодая гвардия», 1957.

.Причуды геометрии"

Д и м о р я д А. П., Математические игры и развлечения. М., Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.

лого стола, то, отразившись от борта, он станет двигаться по тому же диаметру в обратном направлении. Отражаясь то от одного, то от другого борта, он сможет двигаться только взад и вперед вдоль диаметра. Стоит, однако, сместить начальную точку в сторону от центра на расстояние а, как шар начнет вычерчивать на столе сложную ломаную линию (1), не попадая при этом в круг с диаметром а. Стоит сде-

90

лать а равным R • sin —, как

шар автоматически начнет двигаться по правильному звездчатому п-уголь-нику. (Почему?) Так, для звездчатого 30-угольника а — 0,0052R, для 10-угольника a = 0,156R, 5-угольника а = 0,309R, Сделав а больше 0.309R, получим снова ломаную линию, пока не достигнем a = 0,5 (2). Здесь шар начнет двигаться по равностороннему треугольнику. Начиная с этой точки, зависимость меняется. Правильные вписанные многоугольники получаются, когда 180

a = R-cos—• (Почему?)

Так, при a = 0,707R шар движется по квадрату (4), при a = 0,951R — по 10-угольнику, при а = 0.995R — по 30-угольнику и т. д. При a — R он начнет двигаться по окружности.

Таким образом, шар на круглом бильярдном столе при смещении начальной точки от центра стола прорисует все многообразие правильных эвездчатых и выпуклых многоугольников. Мы предлагаем читателям проверить эти выводы и попытаться решить задачу движения шара по эллиптическому бильярдному столу.

2.

«Математик, так же как художник и поэт, создает узоры». Прикладывая многоугольники друг к другу на плоскости так, чтобы они не накладывались друг на друга и между ними не оставалось зазоров, получают узоры, называемые мозаиками. Правильная мозаика получается тогда, когда поверхность выложена одинаковыми правильными многоугольниками. Правильных мозаик всего три. (Почему?) Их можно выложить из треугольников, квадратов и шестиугольников (а, б, в). Причем на плоскости вершины треугольников и квадратов не обязательно должны сходиться в одной точке, чего нельзя сказать о шестиугольниках

Полуправильные мозаики могут состоять из двух или нескольких видов правильных многоугольников, сложенных вершинами, причем вокруг каждой такой точки располагаются одинаковые многоугольники в повторяющемся порядке. Всего существует только 8 таких мозаик. Из них 4 изображены на вкладке (г, д, е, ж.), а 4 другие мы предлагаем найти читателям самостоятельно.

Для мозаик вовсе не обязательно (пользоваться только многоугольниками. Голландский художник М. Эшер достиг необыкновенного искусства в составлении мозаик из фигур различных животных, птиц и т. д. (А, Б, В). Некоторые его мозаики воспроизведены на нашей вкладке, и читатели могут попробовать свои силы в составлении подобных узоров,

Имеет ли это практическое значение? Конечно. Из листа металла можно вырезать такие детали с минимальными потерями. Вот почему отвлеченная геометрическая задача может иногда оказаться весьма ценной находкой для инженеров и технологов.

СОДЕРЖАНИЕ

Навстречу XIV съезду комсомола X Д. Устинов, науч. сотр., и А. Эмме, канд. бнолог. наук — Фотоны работают на фермах . 2 П. Короп — Тайна зеленых гранул ......... . 3

И. Сабельников — Звезды (стихи) 4 П. Вадило, инж. — Теплицы надо

герметизировать! ..... 4 Б. Кудрявцев, проф. —- Новые

профессии неслышимых звуков 5 В. Костров, инж. Невидимый комбинат обогащения земли . . 8 Ф. Турчин, проф. О чем рассказал изотоп азота? ... 9 Короткие корреспонденции . . 10 Л. Черепанов — Квадраты без

мерной проволоки . . . 12

Шелестят страницы.....12

Н. Янсуфин — «Волна» плывет

по Волге ........14

Э. Барноволонов, инж. — Радиоэлектроника в сельском хозяйстве? .........15

Вскрывая конверты.....16

По зарубежным журналам 18

О. Карышев — Рождение гиганта 19

A. Дмитриев, ннж. — Батиандр — обитатель больших глубин . 22

B. Силин — Антибиотики — помощники сельхозпронзводства 23

А. Берг, акад. — Кибернетику на службу коммунизму

Робот-экзаменатор.....

В лабораториях и институтах

страны.........

В мире книг. Полезные советы

Конкурс красоты .....

Вокруг земного шара ... Окончена ли история полувековой

загадки? .......

Стол для пинг-понга .... Л. Чхаидзе, канд. педагог, наук— Электродатчики помогают чем

пионам ........

Л. Евсеев, инж. — Интересные исследования . . . . .

Однажды...........

Де ла Пуап, маркиз. — Мешок вместо бутылки! . .

Время течет.......

Шахматы. Кто изобретатель же

лезобетона? ......

Причуды геометрии ....

?4

25

26

27

28 30

32 34

35

36 36

37

38

39

40

ОБЛОЖКИ художников: 1-я стр.— Ю. СЛУЧЕВСКОГО, 2-я стр. — В. КА-РАБУТА, 3-я стр. — Ю. МОРКОВКИНА, 4 я стр. — К. АРЦЕУЛОВА.

ВКЛАДКИ художников: 1-я стр.— Р. АВОТИНА, 2-я стр. — Ф. БОРИСОВА, 3-я стр. — А. ШУМИЛИНА, 4-я стр. — И. КАЛЕДИНА и А. ШУМИЛИНА. Макет Н. Петровой.

Главный редактор В. Д. ЗАХАРЧЕНКО

Редколлегия: М. Г. АНАНЬЕВ. К. А. БОРИН, В. В. ГОЛУБОВСКИИ, К. А. ГЛАДКОВ, В. В. ГЛУХОВ, П. И. ЗАХАРЧЕНКО, Я. 3. КО ЗИЧЕВ, О. С. ЛУПАНДИН, В. Г. МАВРОДИАДИ. И. Л. МИТРАКОВ, В. Д. ПЕКЕЛИС (заместитель главного редактора), А. Н. ПОБЕДИН-_______СКИИ. Г. И. ПОКРОВСКИЙ, И. Г. ШАРОВ, Н. М. ЭМАНУЭЛЬ._____________

Адрес редакции: Москва, А-30, Сущевская, 21. Тел. Д 1-15-00, доб. 4-66; Д 1-86-41; Д 1-03-01. Рукописи не возвращаются. Художественный редактор Ю. Макаренко Технический редактор М. Шленская ______________________________________Издательство ЦК ВЛКСМ ^Молодая гвардия»^.....

ТО2839. Подписано к печати 28/II 1962 г. Бумага 61x921/,. Печ. л. 5,5 (5.5). Уч.-изд. л. 9,3. Заказ 2589. _ __Тираж 600 000 экз. Цена 20 коп. _

С набора типографии «Красное знамя» отпечатано в Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Московского городского совнархоза, Москва. Ж-54, Валовая, 28. Заказ 2611. Обложка отпечатана в типографии «Красное знамя». Москва. А-30,

Сущевская. 21.



Обсуждение
Понравилось?
Войдите чтобы оставить комментарий
Понравилось?