Техника - молодёжи 1986-01, страница 66
где а, в, с и так далее — различные простые множители числа п. Скажем, число 10 имеет всего два простых множителя а=2 и Ь==5. Отсюда N = ,0/2(I —72> Н-7*> = =2. (Это значит, что существует всего два правильных десятиугольника Число 7 имеет один простой множитель а=7, и поэтому существует всего N = 7/2(I —1 /7>=3 правильных семиугольника. Число 8 имеет один простой множитель а= =2, и число правильных восьмиугольников N=V20 — '/2>=2. Для п=9 N=3, для п=П N=5 и т. д. Пользуясь формулой Пуансо, нетрудно построить зависимость N от п, показанную на 3-й странице обложки (II). По этой зубчатой кривой сразу видно, что наименьшее число правильных несоставных многоугольников получается для четных п. Для нечетных число таких многоугольников увеличивается. Максимальные же количества правильных многоугольников получаются тогда, когда п простые числа, то есть такие, которые делятся только на единицу и на самих себя. Изыскания Пуансо оказались весьма важными для геометрии, ибо именно еМу принадлежит третий важный вклад в теорию правильных многогранников, начало которой положено трудами древнегреческого философа Платона и немецкого астронома Кеплера... Будучи еще студентом в Тюбингене. Иоганн Кеплер (1571 1630), остро ощущавший все несовершенство Птолемеева представления о строении мира, был восхищен стройностью гелиоцентрической системы Коперника и с тех пор не переставал размышлять над устройством Вселенной. Человек своего времени, он был убежден в создании мира и что в его основу положены совершенные геометрические фигуры и простые числовые соотношения. В первую очередь Кеплера волновали два вопроса Почему существуют именно шесть планет — ни больше, ни меньше? И какому закону подчиняются расстояния между орбитами планет? «Я потратил почти целое лето на эту тяжелую работу,— писал он из Граца одному из своих коллег, и в конце концов совершенно случайно подошел к истине». Случай, о котором упоминает Кеплер, произошел 9 июля 1595 года, когда он занимался со своими учениками геометрией. Начертив на классной доске равносторонний треугольник с вписанной в него и описанной вокруг него окружностями, Кеплер был внезапно озарен догадкой. Его наметанный глаз вдруг заметил, что отношение радиусов этих окружностей близко к отношению радиусов орбит Сатурна и Юпитера... В то время считалось, что за Сатурном никаких планет больше нет и что вместе с Юпитером эти две планеты — первые в Солнечной системе, если считать по направлению к нашему светилу. Выходило, Сатурн и Юпитер — первые планеты в Солнечной системе, а треугольник — первая фигура в геометрии. Разве' это может быть случайностью? «Немедленно я попытался вписать в следующий интервал между Юпитером и Марсом квадрат, между Марсом и Землей — пятиугольник, между Землей и Венерой шестиугольник...» Увы, умозрительная аналогия не подтверждалась. «И вот я снова устремился вперед. Зачем рассматривать фигуры двух измерений для пригонки орбит в пространстве? Следует рассмотреть формы трех измерений, и вот. дорогой читатель, теперь мое открытие в ваших руках»,— писал Кеплер в «Космографической тайне». Эта новая идея привела его к трудам Платона, установившего, что если на плоскости можно построить любое число правильных многоугольников, то в трехмерном прост ранстве число правильных многогранников (у них все грани правильные и равные между собой многоугольники, а все двугранные углы равны между собой) ограничено. Платон нашел всего пять таких многогранников тетраэдр (4 треугольные грани), куб (6 квадратных граней), октаэдр (8 треугольных граней), додекаэдр (12 пятиугольных граней) и икосаэдр (20 треугольных граней). Но ведь и расстояний между планетами всего пять, подумал Кеплер. Вот и объяснение, почему планет всего шесть! Ну а относительные расстояния между орбитами? Предположив, что в сферу с орбитой Сатурна вписан куб, Кеплер вписал в него сферу с орбитой Юпитера. В нее он вписал тетраэдр с орбитальной сферой Марса, далее шли додекаэдр, сфера Земли, икосаэдр, сфера Венеры, октаэдр, сфера Меркурия А в центре всех этих сфер и многогранников он поместил Солнце «День и ночь я проводил за расчетами, которые или под твердят совпадение моих предположений с коперниковыми орбитами, или же моя радость будет развеяна по ветру... писал он — Через несколько дней все стало на свои места. Я видел одно симметричное тело за другим так точно подогнанным между соответствующими орбитами, что, если бы какой-то крестьянин спросил, на каком крюке подвешены небеса так, что они не падают, было бы легко ему ответить». Хотя утверждение о необычайной точности совпадения моде ли и действительных расстояний было преувеличенным, Кеплер считал свою гипотезу одним из самых выдающихся достижений. Спустя несколько лет, работая над многотомным трудом «Гармония мира», Кеплер сделал важный шаг в теории многоугольников и многогранников. Обычно, писал он, под правильным многоугольником понимают фигуру, у которой все стороны равны, а все углы равны и направлены наружу. «Однако имеются и фигуры более обобщенного вида, которые выходят за пределы этого определения и в которых несмежные стороны некоторых основ ных фигур продолжаются до их пересечения; они называются звездами». Отличительным признаком звезд Кеплер считал то, что их мож но вычертить одним росчерком пера; и действительно, по этому свой ству их легко отличить от составных звездоподобных многоугольников. Памятуя, что переход от плоских многоугольников к трехмерным многогранникам позволил, как ему казалось, разгадать тайну строения Вселенной, Кеплер попытался выяснить, возможны ли правильные звездчатые многогранники. Эта попытка увенчалась успехом: к пяти правильным многогранникам Платона он добавил два многогранника нового типа, полученные продолжением ребер правильных выпуклых многогранников. Один из них — 12-угольный звездчатый до декаэдр Кеплер назвал «мор ским ежом», второй — 20-угольный звездчатый додекаэдр — «устрицей». Лишь в 1810 году, двести лет спустя, Пуансо открыл еще два звездчатых многогранника, а вслед за этим его соотечественник Огюстен Луи Коши (1789—$857) теоретически доказал, что существует че тыре и только четыре типа правиль ных звездчатых многогранников, которые вместе с пятью платоно 63 |
