Юный техник 1979-01, страница 47

массой tn=40 кг? Коэффициент трения полозьев о дорогу к=0,1. Сани тянут с постоянной сиоростью V=3 м/с веревиой, наклоненной под углом 30° и горизонту.

1G. Лыжнин скатывается с трамплина высотой М = 50 м, имеющего у подножия заиругление радиуса R=10 м. Найти перегрузку, испытываемую лыжником при выезде на горизонтальный участок.

11. Воздушный uiap массы М парит в воздухе на высоте Н. На лестнице, привязанной к гондоле воздушного шара, стоит человек массы т. На какой высоте окажется воздушный шар, гели человек поднимется по лестнице вверх на п ступеней? Расстояние между ступеньками h.

12. 8 комнате объемом V=60 м³ испарили капельку духов, содержащую m=10~~г ароматического вещества с молекулярной массой М = 1000. Сколько молекул ароматического вещества попадает в легкие человека при наждом вдохе? Объем легких принять равным 2,2 л.

13. В герметическом сосуде объемом V=11,2 л содержится воздух под давлением р=0,1 МПа. Какое количество тепла необходимо сообщать воздуху, чтобы давление в сосуде увеличилось в 3 раза? Молярную теплоемкость воздуха при постоянном объеме принять равной 21 дж/моль • к.

МАТЕМАТИКА

1. В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 — физический, 10 учащихся не посещают ии одного из этих кружков. Сколько учащихся посещают оба нрумна?

2. Для того чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы он имел центр симметрии. Докажите.

3. Определите все значения а, при которых множество решений неравенства.

х² — а (1+а) х +а³ Z0 содержит отрезок [0,1].

4. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) для того чтобы число (1-2-3 •...

• (п—1)) — 1 делилось на п, достаточно, чтобы л было простым;

б) для того чтобы число (1 - 2 - 3 • ■ (n—1)) — 1 делилось на п, необходимо, чтобы п было простым.

5. Один четырехугольник расположен внутри другого четырехугольника. Может ли сумма длин диагоналей внутреннего четырехугольника быть больше суммы длин диагоналей внешнего четырехугольника?

6. На олимпиаде были даны три задачи: А, В, С. 25 школьников

решили хотя бы одну задачу. Среди шиольников, не решивших задачу А, решивших задачу В в два раза больше, чем решивших задачу С. Шнольников, решивших тольно задачу А, на одного больше, чем остальные школьнинов, решивших задачу А. Сколько школьников решило только задачу В, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу А?

7. Точки Е и F служат серединами сторон [АВ] и [CD] четырехугольника ABCD. Донажите, что

_ЕГ BC+AD 2

8. Даны два утверждения:

а) система

I (а+4) х + Зу = а+ I I ах + (а — 1) у = а — 1 имеет бесконечно много решений;

б) прямые, заданные уравнениями 5х -i- 4у = 6 и ах + 6у = 10, пересекаются во 2-й четверти Декартовой прямоугольной системы ноор-динат. При каних значениях а одно из этих утверждений ложно, а другое истинно.

9. Докажите, что если в произвольном четырехугольниие АВСД провести внутренние биссектрисы, то четыре точни пересечения биссектрис углов А и С с биссектрисами углов В и Д лежат на одной окружности

10. Школьник переклеивает все свои марни в новый альбом. Если он нанлеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по нрайней мере один лист онажется пустым. Если школьнину подарить такой же альбом, на каждом листе которого нанлеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок.

Сколько листов в альбоме?

11. На каждой из планет некоторой системы находится астроном, наблюдающий ближайшую планету. Расстояние между планетами попарно различно. Донажите, что если число планет нечетно, то какую-нибудь планету никто не наблюдает.

12. Даны К чисел а» а_а> ... а_к, причем ai+aj-t- ... 0. Вычислить предел последовательности [S_n ].

S_n = a._t V n+1 p/n + 2 + ... + + ^ак n + k.

13. Функции f (x) и g(x) не имеют производной в точке х=х.,. Можно ли утверждать, что функции

F, (х) - f (х) + g (х) F₃(x) =f (х) - g(x также не имеют производной в точие X— Xj.

42