Техника - молодёжи 1965-08, страница 32

tfj уществует весьма распространенное ^^ заблуждение, которое проистекает из недостаточно строгого обращения с понятием «поверхность».

Склейте оба края бумажной полоски, перевернув предварительно один из ее концов на 180° (4-я стр. обложки, 1). Перед вами лента Мёбиуса. Разрежьте ее вдоль ровно посередине (2). Что произойдет? Разрежьте то, что у вас получилось (3), тоже вдоль и тоже посередине (4). Что получилось теперь (5)? Разрежьте ленту Мёбиуса вдоль, но не посередине, а отступя на треть от ее края (6). Получится цепочка, состоящая из двух звеньев (7). Удалите более длинное звено, оставшееся разрежьте вдоль, тоже отступя на треть от края. Что получилось? Почему?

А теперь раскройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там черным по белому значится: «Мёбиусу принадлежит честь ошеломляющего открытия: существуют поверхности, у которых имеется только одна сторона. Простейшая из таких поверхностей есть так называемая лента Мёбиуса. Граница поверхности Мёбиуса являет собою простую, незаузленную замкнутую кривую, и ее можно деформировать в окружность». Эта процедура изображена поэтапно на 4-й странице обложки. Разумеется, с реальной * полоской ее не осуществишь, ее можно проделать лишь чисто умозрительно. Вообразим, что перед нами не бумажная полоска, а проволочный каркас с натянутой на него пленкой, напоминающей по свойствам мыльную. О том, как изогнута проволочка, дает представление плавный извив красного бордюра на желтой ленте (1). Будем растягивать проволочку, разгибая петлю (2, 3, 4). При этом пленка пройдет сквозь пленку, образовав самопересекающуюся двумерную фигуру (5) — кросс-кэп («чепчик с пересечением»).

«Другой любопытный пример односторонней поверхности, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — так называемая бутылка Клейна (процедура ее получения также изображена на обложке, цифры 1—5; внизу. — Д. С.). Это замкнутая поверхность, но она в противоположность известным нам замкнутым поверхностям не делит пространства на внутреннюю и внешнюю части. Топологически она эквивалентна паре кросс-кэпов со склеенными между собой граничными кривыми».

Все сказанное верно. Но не зря я везде выделил в цитатах слово «поверхность». Оно применено неточно, или, как выразится математик, некорректно. В чем же дело? Вот перед нами кусочек, выкроенный из плоскости (справа д). Что это — поверхность? Нет! Область поверхности. И различие здесь не только в терминологии. Плоскость беспредельна, а наша вырезка имеет границу. Плоскость делит пространство на две совершенно изолированные половины, а наш кусочек не делит. Добравшись рано или поздно до края вырезки, муха перелезет через него и очутится на другой стороне поверхности. Но сделать то же самое на бесконечной плоскости насекомому не удастся, даже если оно бессмертно: ведь поверхность-то «без конца я края! Правда, такую бесконечную плоскость можно только вообразить, изобразить же ее целиком невозможно. Всегда приходится довольствоваться рисунком какой-то ее части — области (а), хотя мы и подразумеваем под ней всю плоскость. И называем ее для краткости просто «поверхностью». Это-то и вносит порой путаницу в наши представления. Остаток от

ОДНОСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ?

Д. СМИРНОВ, преподаватель инженерной графики, Тупа

плоскости после того, как мы выстригли из нее конечный кусок (д) или отрубили от нее бесконечно большую половину (е), бесконечно велик. И тем не менее он не обладает свойствами изолирующей перегородки. Перед нами опять-таки область.

«Свернув» плоскую ленту в трубку, получим цилиндрическую поверхность (б). Будучи бесконечно длинной, наша «трубка» тоже разбивает пространство на две изолированные части. Зато ее область (ж) такой особенностью не наделена. Похоже, будто способностью рассекать пространство на изолированные доли обладают лишь бесконечно большие поверхности. Отнюдь нет: вспомните тороидальную (в) или сферическую (г) поверхность.

Итак, лента Мёбиуса — никакая не поверхность. Это область поверхности. Кросс-кэп тоже. А бутылка Клейна? Ведь это вроде бы замкнутая поверхность. Оказывается, нет. Ибо, по словам самих Куранта и Роббинса, она «не делит пространство на внутреннюю и внешнюю части». Бутылка Клейна — замаскированная область типа «колбы» (з).

А теперь основной вопрос: о количестве сторон у поверхности. Считается, что лента Мёбиуса, кросс-кэп и бутылка Клейна обладают уникальным свойством — односторонностью. Дескать, если муха ползет точно посередине вдоль полоски Мёбиуса, не приближаясь к краям, то точка финиша придется аккурат под точкой старта — только с другой стороны. Между тем, склей мы полоску в обычное кольцо, муха не попадет на другую сторону, если только ей не

ЛЕНТЫ МЁБИУСА В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

О опротивления, изготовленные так, иаи показано на рисунке 1, не обладают реактивностью. На них не влияет близ-иое соседство электромагнитного поля, контакт с металлом или рукой, сгиб или перекручивание. При самых неблагоприятных условиях электрический баланс в цепи не нарушается (см. «Технику — молодежи» № 1 за 1965 год, стр. 27).

взбредет в голову нарушить правила движения и переползти через край. А теперь поручим мухе функции маляра. Идя все время вперед, насекомое рано или поздно очутится в исходном пункте. Что оно там обнаружит? Если кольцо обычное, то закрасится лишь та сторона, по которой перемещался наш крошка-маляр. Противоположная сторона сохранит свою девственную белизну. Иное дело лента Мёбиуса: она закрасится целиком. Отсюда делается вывод: лента Мёбиуса имеет одну сторону. А обычное кольцо — две. Пожалуй, так оно и есть, пока речь идет о реальных бумажных полосках — материальных телах, обладающих не только шириной и длиной, но также и толщиной. Ведь это вовсе не абстрактные математические понятия, каковыми являются поверхность и ее области, а всего-навсего их физические модели, склеенные из бумаги. Между тем геометрическая поверхность двумерна. Поэтому на ней нельзя различить точки, находящиеся в одном и том же месте поверхности, но с разных ее сторон. Точки-антиподы сливаются в одну и ту же точку. И не только для ленты Мёбиуса, но и для любой поверхности. В том числе цилиндрической. А ведь обычное бумажное кольцо не что иное, как модель области цилиндрической поверхности! Представьте, что эта модель изготовлена из тончайшей прозрачной промокашки. Нанесенная на нее чернильная точка будет видна с обеих сторон. Рассматривая частицы краски как модели точек, мы увидим, что достаточно залить чернилами одну поверхность промокашки, как другая тоже окрасится. В этом смысле все поверхности без исключения вроде бы должны считаться односторонними. Но мы знаем, что это не так. Значит, опыт с закрашиванием не годится как «индикатор разносторонности». Как же нам различить противоположные стороны поверхности?

Проведем циркулем кружок на ленте Мёбиуса. Наметим на окружности направление вычерчивания, скажем, против часовой стрелки. Возведем из центра ориентированную нормаль. Если теперь перемещать нашу геометрическую «конструкцию» по трассе мухи, то, придя в ту же точку, но с другой стороны, мы увидим, что нормаль устремлена в противоположную сторону. Стрелки на окружностях-антиподах тоже глядят остриями в разные стороны. Чтобы добиться того же результата на дольке цилиндрической поверхности, придется перелезть через край. А если бы мы двигались по целой поверхности, то никогда бы не достигли ее края. Нормаль все время оставалась бы ориентированной только в одну сторону, так действительно можно различить стороны поверхности. То-то и оно — «поверхности!» Между тем и долька цилиндрической поверхности и двумерная лента Мёбиуса — области, участки поверхности. Но если первую можно превратить в бесконечно протяженную поверхность, то со второй этого сделать не удастся.

Вывод: односторонних поверхностей не существует. Мораль: эффектные опыты с полоской бумаги дают представление прежде всего о свойствах модели. Когда же мы переходим от модели (геометрический чертеж тоже модель!) к соответствующему абстрактному геометрическому образу (поверхность), не мешает проверить: а все ли свойства, обнаруженные на модели, сохранятся в силе? Открытие Мёбиуса тем и грандиозно, что оно привело к ревизии и уточнению многих геометрических понятий

27